2.2 逻辑代数的运算法则

逻辑代数的运算法则包括基本公式、基本定理和常用公式。

2.2.1 逻辑代数的基本公式

逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式，这些公式反映了逻辑代数运算的基本规律，其正确性都可以用真值表加以验证。

1. 关于常量与变量关系公式

2. 若干定律

交换律：

结合律：

分配律：

互补律：

重叠律：

反演律（德·摩根定律）：

还原律：

2.2.2 逻辑代数的基本定理

逻辑代数的基本定理包括代入定理、反演定理和对偶定理，这些定理也称为逻辑代数的三个规则。

1. 代入定理

代入定理规定：在任何一个包含某个相同变量的逻辑等式中，用另外一个函数式代入式中所有这个变量的位置，等式仍然成立。

因为任何一个逻辑函数和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值，所以用一个函数取代某个变量，等式自然成立。

例如，将等式A + BC = (A + B)(A + B)两边的变量A用函数EF + D代入等式仍然成立，即：

EF + D + BC = (EF + D + B)(EF + D + B)

代入定理扩大了基本公式的使用范围。例如，已知A+A=1成立，则用AB函数代入A等式亦成立，即：AB+AB=1。

2. 反演定理

反演定理规定：将原函数F中的全部“⋅”号换成“ + ”号，全部“ + ”号换成“⋅”号，全部“0”换成“1”，全部“1”换成“0”，全部原变量换成反变量，全部反变量换成原变量，所得到的新函数就是原函数的反演式，记作F。

反演定理为求取已知函数的反函数提供了方便。在使用反演定理时还需注意遵守以下两个规则：

① 仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。

② 不属于单个变量上的非号应保留不变。

【例2.4】 已知原函数，求其反函数。

解：用反演定理可得：

例2.5】 已知原函数 ，求其反函数。

解：用反演定理可得：

3. 对偶定理

对偶定理规定：将原函数F中的全部“⋅”号换成“ + ”号，全部“ + ”号换成“⋅”号，全部“0”换成“1”，全部“1”换成“0”，所得到的新函数就是原函数的对偶式，记作F′或F*。

对偶定理和反演定理不同之处是，不需要将原变量和反变量互换。在使用对偶定理时仍需注意遵守反演定理的两个规则。

【例2.6】 已知原函数1 求其对偶式。

解：用对偶定理可得：

【例2.7】 已知原函数，求其对偶式。

解：用对偶定理可得：

当已知一个公式成立时，利用对偶定理可以得到它的对偶公式。本节基本公式中的式（2.9）～式（2.16）与式（2.9'）～式（2.16'）互为对偶式。

2.2.3 逻辑代数的常用公式

逻辑代数的常用公式是利用基本公式导出的，直接运用这些常用公式可以给逻辑函数的化简带来方便。

1. 常用公式1

证：

上式说明，如果两个乘积项除了公有因子（如A）外，不同的因子恰好互补（如B和B），则这两个乘积项可以合并为一个由公有因子组成的乘积项。

根据对偶定理，常用公式1的对偶公式为：

2. 常用公式2

A AB A+ =（2.19）

证：

A + AB = (1A + B) = A ⋅ 1 = A

上式说明，如果两个乘积中有一个乘积项的部分因子（AB中的A）恰好是另一个乘积项（如A）的全部，则该乘积项（AB）是多余的。

根据对偶定理，常用公式2的对偶公式为：

3. 常用公式3

证： （根据式（2.13'）分配律得到）

上式说明，如果两个乘积中有一个乘积项（如AB）的部分因子（如A）恰好是另一个乘积项的补（如A），则该乘积项（AB）中的这部分因子（A）是多余的。

根据对偶定理，常用公式3的对偶公式为：

4. 常用公式4

证：

推论：

证：

常用公式4及其推论说明，如果两个乘积中的部分因子恰好互补（如AB和AC中的A和A），而这两个乘积项中的其余因子（如B和C）都是第三乘积项的因子，则这个第三乘积项是多余的。

根据对偶定理，常用公式4的对偶公式为：

2.2.4 异或运算公式

异或运算也是逻辑代数中常用的一种运算，关于异或运算有如下公式。

交换律：

结合律：

分配律：

常量与变量之间的异或运算：