1.1.4 基本概念

1.常用表示方法

通常为了更方便地表示偏微分运算符号，常采用这些简写表示

有时候在一些软件里面，例如COMSOL Multiphysics中，常常会使用方程式（1.13）的简写表示

在本书中以后的内容中，这几种表示方法都可能会得到使用。

2.方程的阶数

偏微分方程的阶数是指在方程中出现的未知函数的偏导数所具有的最高次数，例如前面章节中出现的偏微分方程，绝大多数都是二阶偏微分方程。

3.线性和非线性方程

如果在一个偏微分方程中的未知函数，以及其各阶导数的系数都是线性的，即这些系数都是一次表达式，只依赖于自变量而变化，这种方程就称为线性偏微分方程；相反，如果这些系数依赖于因变量则称为非线性偏微分方程。例如，方程式（1.14）是一个线性偏微分方程

方程式（1.15）则是一个非线性偏微分方程

4.齐次和非齐次方程

如果一个偏微分方程中的自由项为零，即不含未知函数及其导数的项时，称它为齐次偏微分方程，否则就称为非齐次偏微分方程。这个分类其实就是指在偏微分方程中是否具有源项。

例如，偏微分方程式（1.14）和（1.15）中的f(x,y)就是自由项，或者源项，如果它为零，上述两个方程式就是齐次偏微分方程，例如

如果它不为零，这两个式子就是非齐次偏微分方程，即

5.方程的类型

在谈到偏微分方程时，经常会听到有人讨论椭圆型或抛物型等，这是因为各种偏微分方程的定解和性态方程等都存在很大差异，为了便于讨论，常常将它们分为以下三类：椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程。将常见的二阶线性偏微分方程进行分类，有助于理解物理规律。

上一节中，我们已经知道各种常见的二阶线性偏微分方程可以写成一种基本形式，如果不考虑其中的时间项，可以得到一个如方程式（1.18）所示的二阶偏微分方程，这种形式有时候也称为标准形式或典型形式

经过数学变换，可以得到这个标准二阶偏微分方程的一个特征方程式

此方程的积分曲线称为特征线。接下来就可以采用与解析几何中一元二次方程的分类方法（双曲线、抛物线或椭圆）相类似的方法，根据求定解的充分必要条件，定义判据

则可以将二阶线性偏微分方程分成以下三种基本类型。

1.如果Δ＞0，方程的特征曲线有两族不相同的实特征线，称为双曲型偏微分方程，典型代表有常系数齐次波动方程，对应的标准形式为uxx-uyy=H或uxy=H。

2.如果Δ=0，方程的特征曲线只有一族实特征线，称为抛物线型偏微分方程，典型代表有热传导方程，对应的标准形式为uxx=H。

3.如果Δ＜0，此时不存在实特征线，称为椭圆型偏微分方程，典型代表有拉普拉斯方程，对应的标准形式为uxx+uyy=H。

其中H为x,y,u,ux,uy等的函数。

其他更高阶次的偏微分方程，可采用类似的方法来区分成这三种类型。

这三类偏微分方程，描述了物理与工程技术中不同的自然现象，不仅在偏导数项系数的代数方面存在较明显的差异，而且在得到定解时所需条件也存在本质的区别。