2.4　古希腊后期数学家

简史

（1）海伦

☆《度量论》共分三卷，主要讨论了平面图形的面积问题和立体图形的求积问题。

☆第一卷中给出了求三角形面积的两种方法，一种是我们今天熟知的方法，另一种是海伦公式法：

，其中。

（2）托勒密

☆《天文学大成》以公理化方法写成，主要阐述了当时的天文历法。

☆为了说明天文概念，《天文学大成》中应用了大量的数学知识。

☆将圆周分成了360°，引入了角度的60进制。

☆列出了每隔°的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了0°～90°间隔14°的角的正弦值。

☆提出并证明了托勒密定理：在一个内接四边形中，如图所示，有AB×CD+AD×BC=AC×BD。

☆给出了三个三角函数恒等式：

☆提出了球极投影方法，主要用来帮助人们绘制地图和星图。

（3）丢番图

☆丢番图的《算术》是本问题集，主要讨论了数论问题，包含了多项数学成就，共13卷，共290个问题。

☆书中广泛研究了不定方程问题。不定方程是指未知数的个数多于方程个数的代数方程（组）。

☆1637年，法国数学家费马受其启发，提出了“费马猜想”。

☆讨论了一、二、三次方程问题。

☆创造了一套代数符号。

（4）帕普斯

☆其传世著作《数学汇编》总结了前人的众多成果。

☆证明了等周问题，即周长相等的平面图形中圆面积最大。

☆证明了“皮匠刀”问题。

☆证明了圆锥曲线的焦点和准线性质：一动点到一定点的距离与到一直线的距离比等于常数，则动点轨迹为圆锥曲线。当常数等于1时为抛物线，小于1时为椭圆，大于1时为双曲线。

☆发现了旋转体的体积定理：一个平面绕一平面上的轴线旋转而成的立体体积，等于这个图形面积乘以其重心所画圆周的长。

☆证明了帕普斯问题：设P1、P2、P3是一点到3条固定直线的距离，若P1P2=λP32，λ是常数，则点的轨迹为圆锥曲线。

导图

人物小史与趣事

海伦（Heron）

海伦（生卒年不详），古希腊数学家、力学家、机械学家。约公元62年活动在亚历山大城，是亚历山大学派后期一员。他多才多艺，善于博采众长，写过很多书，如《测量仪器》、《自动建造技术》、《武器制作法》、《几何》、《测量》、《测体积学》等。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。

☆海伦的生平

海伦擅长测量，给出了多种求图形面积和体积的定理和公式，其中最著名的是海伦公式，即已知三边长求三角形面积。海伦的许多学术著作都是用希腊文撰写，但大部分早已失传。其主要著作有《量度论》、《体积求法》、《几何》等。

海伦生长在一个对数学家的生平不是很注重的年代，所以即使一些文章是以海伦为名，但后人还是不敢肯定是否为海伦本人所著。

海伦真正的出生日期确定起来非常困难，有人认为他出生于公元前150年左右，也有人认为他出生于公元后250年，前者的主张是基于目前并未发现有比阿基米德更晚的海伦作品，后者则认为他生长于托勒密之后，所以应该是公元后。然而还有一种提法是以上两种说法都是错误的，因为有一个跟海伦同时代的诗人柯南美拉，是一位罗马士兵，曾在一篇文章中提过海伦，史学家也在1938年找到其他证据支持这个论点。

海伦曾在亚历山大博物馆工作过。在那里，他传授几何、物理、气体学和机械学。他的书可分成两类，一类是理论的部分，包括几何、算数、天文学和物理，另一类是技能指南的部分，包括建筑学、木工和生活上使用到的技巧等。天文学方面，他提出如何利用月亮来测量亚历山大城到罗马城的距离；气体学方面，他提出如何利用空气、河流和水压，并将其运用到战场上；物理学方面，他利用杠杆、滑轮、阶梯或螺旋来撑起重物，并考虑物体的中心等问题；数学方面，他已经会求三角形和正方形的面积，知道边数是3～12的正多面体种类，锥和柱的表面积算法，并且会算平方根的近似值，实际上他也找出了1～100所有的数的立方根，当然海伦最著名的是证明了“海伦公式”。

☆海伦的著作

海伦在数学方面最能代表其成就的是《度量论》。该书共分为三卷，第一卷由矩形和三角形开始，讨论了平面图形和立体表面的面积，并给出了著名的“海伦公式”。第二卷探讨立体图形，包括圆锥体、圆柱体、棱柱体等立体体积的求法。第三卷介绍了平面和立体图形按给定比例的分割，并用到了求立方根的近似公式。

海伦另外一部关于测地学的著作也很有名。在这本书中，他对如何在隧道两端同时动工而能使之衔接给出说明，并解释如何测量两地的距离，包括有一地不能到达以及两地均能看见但均不能到达的情形；同时他也说明如何从已知点到不可及的一线作垂线，以及无需进入地面而测量这块地的面积。

海伦的著作掺合了严密数学、近似方法以及前人的公式，他继承了前人的测量科学并将其发扬光大。他的测地学著作被沿用了几百年。

托勒密（Ptolemy）

托勒密（约100～170年），古希腊后期著名天文学家、数学家、地理学家、光学家，生前主要活动在亚历山大城，为托勒密王朝服务。他一生写了多部科学著作，其中有三部有颇大影响。第一部是最负盛名的《天文学大成》，也叫《大成》或《至大论》；第二部是《地理学指南》，全面探讨了古希腊地区的地理知识；第三部是有关占星学的《四书》，其尝试改进占星术中绘制星图的方法，以便融入亚里士多德的自然哲学。

☆不准确的地图的故事

托勒密对地理位置的计算不准确，据说他计算出的从欧洲横跨大西洋到亚洲的距离，比真实距离要小得多。这导致哥伦布企图从西班牙向西面驶往亚洲印度，结果到了美洲，发现了新大陆。

☆“地心说”的故事

托勒密信奉亚里士多德的地心说，并且完善了地心理论。他认定“地球在世界的中央，所有的重物都朝着它运动”。

他设计了偏心轮、本轮和均轮三种圆周运动，还用它们的组合来描述各个行星的运动，比较成功地预言了行星的视位置，对天文学的发展有一定的贡献。

直到16世纪中哥白尼的日心说发表，地心说才被推翻。

丢番图（Diophantus）

丢番图（约246～330年），古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家，是代数学的创始人之一，有“代数之父”之称。关于他的生平今天人们仅知道两件事，一是其曾在亚历山大后期的一个基督学校教过书，其著名的《算术》就是献给学校校长的一本教材；二是其活了84岁，年龄是后人通过5世纪希腊诗文集中收录的一首丢番图的墓志铭而推算出来的。丢番图对算术理论有深入的研究，其完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。

☆丢番图的墓志铭

在《希腊诗文集》中，麦特罗尔写了丢番图的墓志铭。

墓志铭是用诗歌形式写成的：“过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”

☆巧妙解题的故事

丢番图最得意的学生叫帕普斯。他从很小的时候就开始跟随着丢番图学习数学。

有一天，帕普斯遇到一道让他十分为难的问题：有四个数，把其中每三个相加，其和分别为20,22,24和27，求这四个数。

按照通常列方程解应用题的方法，帕普斯设四个数分别为x，y，g，t，依题意列方程组，可在求解时他被这个方程组搞得昏头昏脑，难以顺利进行。

百思不解的帕普斯只得向老师丢番图请教，问是否有简便的方法解答这个问题。

丢番图看后笑着回答：“行啊！行啊！”随即就给帕普斯讲了一个极为简单的解法。丢番图一反常规，不去分设四个未知数，而是设四个未知数的和为x，于是，这四个数就分别为x减去其余三个数之和所得的差，然后列方程解答。得出这四个数分别是4,7,9,11。

丢番图的解答让帕普斯茅塞顿开，心悦诚服的他从此坚定了毕生从事数学研究的决心，后来也成了一位著名的数学家。

帕普斯（Pappus）

帕普斯（或巴普士，3～4世纪），古希腊数学家，他是古希腊后期最伟大的几何学家。帕普斯一生有大量著作，但可惜只有《数学汇编》保存下来。《数学汇编》不仅对前辈学者的著作做了系统性的整理，而且还发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学作品的资料，对数学史具有重大的意义。

☆帕普斯定理

设U，V，W，X，Y和Z为平面上六条直线。如果：U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，则U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理。

☆帕普斯与《数学汇编》

《数学汇编》共有8篇：

第1篇是算术；

第2篇提出了连乘法；

第3篇是关于平面几何与立体几何，其中有寻找两条已知线段的比例中项问题，有关于算术平均、几何平均和调和平均以及把三者表示在一个几何图形上的问题，并揭示了如何把正五面体内接于一个球内；

第4篇是关于3个已知圆彼此外切问题，还详细讨论了阿基米德螺线、尼科梅德蚌线及希波克拉提斯割圆曲线问题等，并涉及任何角的三等分问题；

第5篇是关于面积和体积问题；

第6篇是对先前的天文学家和数学家的著作的评注；

第7篇阐述了术语分析和综合以及定理和问题之间的区别；

第8篇主要是关于力学。