2.7 图像的傅里叶变换

2.7.1 傅里叶变换的物理意义

从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的过程。

从物理效果上看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义就是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。例如，大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域，它在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

因此，将一幅图像进行傅里叶变换后，就将图像中的高频信息和低频信息在频率域中分开了，方便对图像进行各种处理，如图像平滑、边缘提取等操作。

2.7.2 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是图像处理最为常用的一个变换手段之一。利用傅里叶变换，把图像的信号从空域转到频域，使得信号处理中常用的频域处理技术应用到图像处理上，这无疑大大拓宽了图像处理的思想和方法。

这些数学性质在物理实现上有重要的应用价值，并且有快速算法，这些算法可固化在器件上，也可以通过光学器件实现。傅里叶变换在图像滤波、噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中都有着广泛的应用。

假设f（m，n）（m=0，1，…，M-1;n=0，1，…，N-1）是一幅M×N图像，其二维离散傅里叶变换的定义为

其反变换为

式中，和分别为正变换核和反变换核；m、n为空间域采样值，k、l为频率采样值；F（k，l）称为离散信号f（m，n）的频谱。

2.7.3 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的主要思想是将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断将一个奇数项和一个偶数项相加（减），得到需要的结果。也就是说，FFT是将复杂的乘法运算变成两个数相加（减）的简单重复运算，即通过计算两个单点的DFT来计算一个双点的DFT；通过计算两个双点的DFT来计算四个点的DFT……依此类推。

设离散函数f（m，n）在有限区域（0≤m≤M-1，0≤n≤N-1）非零，则快速傅里叶变换的主要推导过程为

令

则有

同理

又因为

所以

由上述推导，可得FFT的定义式为

其逆变换为

2.7.4 主要性质

设阵列f（m，n）与g（m，n）的离散傅里叶变换为[f（m，n）]M×N⇔[F（k，l）]M×N，[g（m，n）]M×N⇔[G（k，l）]M×N，则有以下的性质。

1．延拓周期性

f（m，n）=f（m+aM，n+bN）

F（k，l）=F（k+aM，l+bN）

式中，m，k=0，1，…，M-1;n，l=0，1，…，N-1;a，b为整数。这是因为和是m，n或k，l的周期函数，周期分别为M和N。

2．可分性

变换是可分的，即

这个性质可使二维离散傅里叶变换依次用两次一维变换来实现。

3．线性

离散傅里叶变换和反变换都是线性变换，即

F[af（m，n）+bg（m，n）]=aF[f（m，n）]+bF[g（m，n）]

F-1[αF（k，l）+βG（k，l）]=αF-1[F（k，l）]+βF-1[G（k，l）]

4．尺度缩放性

特别地，当a，b=-1时，有

f（-m，-n）⇔F（-k，-l）

即离散傅里叶变换具有符号改变对应性。

5．平移性质

其中，m0、n0分别表示横纵方向的平移量。

在阵列阵元有限的概念下，这种位移是循环位移。循环位移相当于原阵列周期延拓后的普通位移。这个性质表明，一个阵列发生平移，它的傅里叶变换阵列只改变相位，而幅值不变。

6．差分

令

Δxf（m，n）=f（m，n）-f（m-1，n）

Δyf（m，n）=f（m，n）-f（m，n-1）

则

由该性质可知，在空间域中对图像进行差分运算相当于对图像进行高通滤波。

7．和分

此性质表明，在空间域中对图像像素作和相当于对图像信号进行低通滤波。

8．卷积

两幅图像的卷积等于其傅里叶变换的乘积，即

其中，