初试啼声

我是在柏克莱读研究所的第一年（1969年）开始涉足这个领域的。圣诞假期时，我要找本书来读，但最后我选的并非《波特诺的抱怨》（Portnoy's Complaint）、《教父》（The Godfather）、《爱情机器》（The Love Machine）、《天外病菌》（The Andromeda Strain）——当年畅销书排行榜的前四名——而是一本没那么畅销的书，《摩尔斯理论》（Morse Theory），作者是美国数学家米尔诺（John Milnor）。书中令我特别感兴趣的是关于拓扑和曲率的章节，米尔诺在其中探讨了局部的曲率对几何和拓扑具有重大影响的观念，而这成了我此后一直研究的主题。因为曲面的局部曲率是由对该曲面求导数而得的，因此是建立在分析学之上。所以，研究曲率如何影响几何性质，正是几何分析的核心课题。

那时候我没有研究室，几乎等于住在柏克莱的数学图书馆。传言有谓，我初到美国的第一件事，并非像大多数人那样游览旧金山，而是直奔数学图书馆云云。我无法丝毫不误地记得四十年前的事，但也没有理由怀疑这项传言的真实性。我的习惯是在图书馆内漫步，看到的每本期刊都拿来读一读。寒假时，当我在参考室翻查资料时发现，我正在读的米尔诺在1968年时有一篇论文，文中提到普莱斯曼（Alexandre Preissman）的定理，这引发了我的兴趣。由于当时大多数人都已离校度假，而我又别无他事可做，于是就试试看自己能不能证明一些和普莱斯曼定理有关的东西。

普莱斯曼观察的是在某个给定曲面上，两个“不平庸”（nontrivial，不会无意义）的闭圈（loop）A和B。闭圈就是以某一点为起点在曲面上绕行，最后又回到起点的曲线。不平庸在这里则是指这个圈如果一直保持留在曲面上，就没有办法一路缩小到起点。不平庸的闭圈在缩小过程中一定会遇到某种阻碍，例如，一条绕过甜甜圈内侧的闭圈，除非把甜甜圈切开，否则不可能缩回起点，而一旦如此，闭圈就“不在”曲面上了，而且就拓扑而言，切开的甜甜圈也不再是甜甜圈，所以这是一条不平庸的闭圈。

如果沿着闭圈A走一圈之后，紧接着立即沿闭圈B再走一圈，两者组合起来的路径构成一个新闭圈A×B。但是如果先绕B再绕A，则合起来的闭圈记为B×A。普莱斯曼证明在一个曲率处处为负的空间上（局部上像鞍面），闭圈B×A绝对无法借由弯曲、延伸或缩小等手段，平滑地变形为闭圈A×B，反之亦然。唯一的例外是：如果A的某个倍数（一个环绕A整数次所构成的闭圈）可以平滑地变形成B的某个倍数，那么闭圈B×A才能平滑地变形为A×B，反之亦然。在这唯一的例外情形中，我们称闭圈A和B是可交换的。正如加法和乘法是可交换的（2+3=3+2;2×3=3×2），而减法和除法则是不可交换的（2-3≠3-2;2÷3≠3÷2）。

我证明的定理，比普莱斯曼更为普遍，适用于所有曲率非正的空间（也就是每一点的曲率是负值或等于零）。要证明这个更一般的情形，我必须另外用到拓扑学与微分几何之外的数学：群论（group theory）。群是由合乎特定规则的元素所构成的集合：群里面要有单位元（例如数字1），以及反元素（例如，对每一x都有1/x）。群具有“封闭性”，意思是当群里面的两元素以群的运算（例如整数的加法）结合时，其运算结果也必须是这个群的元素。此外，群的运算还要遵守结合律，亦即a×（b×c）=（a×b）×c，其中“×”是群的运算符号，不是算术的乘号。

我所考虑的群称为空间的“基本群”（fundamental group），其中包含的元素是空间中的闭圈，就像前述的A和B。如果一个空间存在不平庸的闭圈，该空间就具有不平庸的基本群。（反过来说，如果空间中的每个闭圈都可以缩小成点，这个空间的基本群就是平庸的。）我证明了：如果A、B这两个元素可交换，即A×B=B×A，则在这个空间中，必定存在一个更低维度的“子曲面”，或更明确地说，是一个环面。

我们可以把二维环面想成是两个圆的“乘积”。我们先画一个大圆（想成是穿绕甜甜圈的那个圆），接着再以大圆圆周上的每一点当作圆心，画一个小圆，其中每个小圆的半径均相同。把这些全等的小圆汇集起来，就会组成一个环面。另一个想法，是把圈圈饼（Cheerios）串起来，再把两端接起来，扎紧成一个环。在数学上说环面是大圆和小圆这两个圆的乘积，就是这个意思。在我推广普莱斯曼而得的定理中，这个环面的两个圆正好由闭圈A和B所代表。

普莱斯曼和我所证明的定理都运用了较专业的技术，或许相当冷僻。但重点在于，这两种论证都阐明了：一个曲面的整体（global）拓扑性质不只可影响曲面的局部几何，也可以影响整体的几何性质。这点之所以能成立，是因为本例中由闭圈所定义的基本群，是整个空间的整体性质，而非局部性质。要证明一个闭圈可以连续地变形成另一个闭圈，你或许得在整个曲面上移来移去才能做到，因此这是空间的整体性质。事实上，这正是当代几何的重要主题之一：去理解一个给定的空间拓扑条件，可以支持什么样的整体几何结构。例如，我们知道拓扑等价于球面的曲面，其曲率的平均不可能为负。数学家已经建立了一长串这类的数学叙述。

图3.1 几何学家莫瑞（照片提供：George M. Bergman）

就我看来，我的证明没什么问题。假期结束后，我把证明拿给一位老师、当时还是年轻讲师的劳森（Blaine Lawson）看。劳森也觉得没问题，于是我们就合作，用证明中的某些想法一起证明了另一个定理，主题很类似，也是将曲率和拓扑关联起来的定理。我很高兴终于能为数学的知识殿堂做点贡献，但我并不觉得自己所做的特别值得一提。我还在寻找能真正留下我的印记的道路。

我突然想到，答案或许在我上的一门非线性偏微分方程的课中。授课的教授莫瑞令我印象极为深刻。他的课程主题十分冷门，分量很重，使用的教科书是莫瑞自己写的，也非常难读。过不了多久，修课学生就纷纷打起退堂鼓，最后课堂上只剩我一人。当时柏克莱正有许多学生罢课，抗议美军轰炸柬埔寨，但莫瑞仍继续讲课，而且即使只剩一个学生，很显然他仍花了相当大的心力备课。

莫瑞是偏微分方程的大师，他所发展出的技巧非常深奥。可以说，莫瑞的课替我未来的数学生涯打下了基础。