第一节　矩阵的概念

一、矩阵的定义

设有线性方程组，去掉未知量以及加减号、等号，剩下的数可以构成一个数表，这个数表就是一个三行五列的矩阵.它的每一行就代表了一个方程.可以把对方程组的讨论转换成对这个矩阵的讨论.

定义2-1-1　由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排列成的一个m行n列的矩形数表

称为一个m×n矩阵，记作Am×n=（aij）m×n.其中横排称为行，竖排称为列，数aij称为矩阵第i行第j列的元素.

一般用大写字母A、B、C…表示矩阵.用Am×n或（aij）m×n表示矩阵为m行n列的矩阵.

【例2-1-1】　某公司有四个连锁商店，第一季度的销售额如下表所示（单位：万元）：

如果把表格中每个销售额的数据取出，保持原来的相对位置，就可得到一个4行3列的矩阵

其中每一个元素都有确切的含义.如第一行第二列的数据10，表示1月份第二个连锁商店的销售额为10万元；第二行的数据表示2月份各个连锁商店的销售额；第3列的数据表示第三个连锁商店在第一季度各个月份里的销售额.

当m与n取一些特殊的值时，可以得到几种特殊形状的矩阵.

当m=n时，

称为n阶矩阵或n阶方阵.由该方阵的元素按原来的相对位置排成的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记作｜A｜.

当m=1时，矩阵只有一行，称为行矩阵；当n=1时，矩阵只有一列，称为列矩阵；当m=n=1时，矩阵就是一个数.

当m×n矩阵所有元素都是零时，称为零矩阵，记为Om×n.例如，

所有元素都为非负数的矩阵称为非负矩阵.

把矩阵A的所有元素aij都改变符号而得到的矩阵，称为A的负矩阵，记

-A=（-aij）

例如：.

二、几种特殊的矩阵

1.单位矩阵

主对角线上的元素全是1，其他元素都是零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，简称单位矩阵.记为En，即

2.对角矩阵

如果n阶矩阵（aij）中的元素满足条件aij=0（i≠j；i，j=1，2，…，n），则称该矩阵为对角矩阵，简称对角阵，简记为Λ=diag（a11，a22，…，ann）.即

3.数量矩阵

如果n阶对角矩阵中的元素a11=a22=…=ann=a时，则该矩阵为n阶数量矩阵.即

4.三角矩阵

如果n阶矩阵A=（aij）中的元素满足aij=0（i>j；i，j=1，2，…，n），则称A为n阶上三角形矩阵.即

如果n阶矩阵A=（aij）中的元素满足aij=0（i<j；i，j=1，2，…，n），则称A为n阶下三角形矩阵.即

5.对称矩阵

如果n阶矩阵A=（aij）满足aij=aji（i，j=1，2，…，n），则称A为对称矩阵.即对称矩阵的元素关于主对角线对称.即

例如是一个三阶对称矩阵.

6.反对称矩阵

如果n阶矩阵A=（aij）满足aii=0，aij=-aji（i≠j；i，j=1，2，…，n），则称A为反对称矩阵.即

例如是一个三阶反对称矩阵.