第二节　n阶行列式

在有了二、三阶行列式的概念之后，自然想到四阶或更高阶的行列式的概念问题.由于二、三阶行列式的引进，解二、三元线性方程组的问题得到了简化且更有规律性.那么人们自然会想到能否用n阶行列式来解n元线性方程组的问题.如果单从形式上来看，n阶行列式的符号如下：

但这样的n阶行列式怎样展开呢？下面将二、三阶行列式的概念加以推广，给出n阶行列式的概念.

先来介绍排列的有关概念和性质.

一、排列与逆序

排列：由n个不同的数码1，2，…，n组成的有序数组i1i2…in，称为一个n级排列.简称排列.

如2341就是一个四级排列，34215是一个五级排列，123…n则是一个自然序的n级排列.

一般地，n级排列的总数为n！种.例如所有的3级排列共有3！=6个，分别是123、132、213、231、312和321.

逆序：在一个n级i1i2…in中，如果有一个较大的数排在一个较小的数前面，称这一对数构成一个逆序.

逆序数：一个排列包含逆序的个数称为逆序数，记作N（i1i2…in）.

奇排列：逆序数为奇数的排列.

偶排列：逆序数为偶数的排列.

如2431，包含的逆序有21，43，41，31，则N（2431）=4，它是一个偶排列.N（3421）=5它是一个奇排列.自然序的排列逆序数为零，是偶排列.

对换：在一个排列i1…is…it…in中，如果仅将它的两个数码is与it对调，其他数码不变，得到另一个排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记为对换（is，it）.

如45213经过对换（5，1）之后得到排列41253.

定理1-2-1　任意一个排列经过一次对换后奇偶性改变.

如2431是一个偶排列，经过一次对换（2，3）之后得到3421，3421是一个奇排列.

定理1-2-2　所有n级排列中，奇偶排列各占一半.

如3级排列共6个，奇偶排列各有3个.

二、n阶行列式的定义

先考察二、三阶行列式的规律：

以上两式有如下规律：

（1）行列式所表示的代数和包含的项数正好等于行列式的阶数的阶乘.也恰好是相应级排列的全部排列总数.实际上当把行列式代数和中各项的元素行标按自然顺序排列后，各项的列标正好构成相应级的全部排列.

（2）行列式所表示的代数和中，全部项的符号正好正负各一半，而在全部的n级排列中，偶排列与奇排列正好各占一半.当把二、三阶行列式中各项的元素行标按自然顺序排列后，列标排列为偶排列的项符号为正，列标排列为奇排列的项符号为负.

根据这个规律，可以给出n阶行列式的定义.

定义1-2-1　由n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）组成的记号

称为n阶行列式，其中横排为行，纵排为列.左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.它是n！项的代数和，每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积.即

　　 （1-2-1） 　　

其中，表示（j1j2…jn）取遍所有n级排列时，对形如的项求和.因此n阶行列式表示所有可能取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和.

式（1-2-1）为n阶行列式的展开式，它是前面二阶、三阶行列式的推广.

一阶行列式｜a11｜就是数a11.

由行列式的定义可知，一个行列式若有一行（列）的元素全为零，该行列式的值为零.

例如，对于四阶行列式，根据定义可以判断a12a24a32a43不是展开式中的一项，a12a23a34a41是展开式中的项，因为2341是奇排列，所以该项前面带负号.

定理1-2-3　n阶行列式D=｜aij｜的一般项可以记为

其中，i1i2…in与j1j2…jn均为n级排列.

【例1-2-1】　计算下列行列式的值

其中aii≠0（i=1，2，…，n）.

根据n阶行列式的定义，n阶行列式是所有取自不同行、不同列的n个元素乘积的代数和，D中含有很多零元素，如果做乘积的n个元素中包含零元素，则该乘积项就为零.因此，在考察它的展开式中有哪些项是n个非零元素的乘积.第一行只有a11不为零，所以在第一行上取a11，由于第一列上取过了元素，所以第二行只能取a22，以此类推，第n行只能取ann，只有这n个元素的乘积不为零.当它们行标按自然顺序排列后，列标也是自然顺序，因此该项前带正号.D称做下三角形行列式.

同理可得上三角形行列式 　

对角形行列式 

【例1-2-2】　若（-1）N（i432k）+N（52j14）ai5a42a3ja21ak4是五阶行列式｜aij｜的一项，则i、j、k应为何值？此时该项的符号是什么？

解：当i=1，k=5，j=3时，N（14325）+N（52314）=9，该项前应带负号.

当i=5，k=1，j=3时，N（54321）+N（52314）=16，该项前应带正号.

【例1-2-3】　用行列式定义计算.

解：根据定义，要想使乘积项不为零，第一列应取a21，第三行应取a32，第一行只能取a14（因为第二列上取过元素），同理，第四行只能取a43.该乘积项前的符号为（-1）N（4123），4123为奇排列，所以该行列式的值为-1.