2.4 粒子滤波算法

粒子滤波技术可以处理非线性、非Gauss系统状态估计问题，它不具有Kalman滤波框架，具有很好的适应性和非常广泛的应用范围。粒子滤波广泛应用于经济学预测、雷达跟踪、定位和故障诊断等领域[134]，[149-151]。

2.4.1 最优贝叶斯递推滤波和重要性采样

记X（k）={x（0），x（1），…，x（k）}，Z（k）={z（0），z（1），…，z（k）}，则状态X（k）的最优估计为

通常p（X（k）|Z（k））非常复杂，不易直接产生符合密度函数p（X（k）|Z（k））的粒子。设q（X（k）|Z（k））是较p（X（k）|Z（k））更容易实现采样的概率分布函数，有

由于

定义，有

应用Monte-Carlo（MC）方法进行近似，以若干独立同分布离散粒子{X（i）（k），i=1，2，…，N_s}～q（X（k）|Z（k））对期望的概率密度进行近似，即

由式（2-179）和式（2-180）有

其中称为重要性权重，称为归一化重要性权重。

同理，有k时刻的状态估计

其中，独立同分布粒子{x（i）（k），i=1，2，…，N_s}～q（x（k）|X（i）（k-1），Z（k）），，。

可以看出，重要性权重不是递推形式的，无法进行在线（实时）估计。为此，引出序贯（递推）重要性采样方法。

2.4.2 序贯重要性采样

序贯重要性采样（Sequential Importance Sampling，SIS）是重要性采样的扩展。由于

同时

因此

即

此外，适用于式（2-182）的也有如上递推形式，证明从略。

SIS更新粒子方法如下：

SIS算法理论上给出状态估计的递推算法，但存在所谓的粒子退化问题。即递推若干步后，大部分粒子的重要性权重将趋于0，从而导致滤波发散。克服粒子退化的一个办法是重采样。

本章采用的重采样方法是系统采样法（Systematic Sampling），具体如下：

根据如下规则生成N个随机数

如果，则直接复制m个粒子为重采样粒子。

2.4.3 PF滤波算法

选取重要性函数

则粒子滤波算法具体如下。

第1步：初始化

第2步：产生预测粒子

式中，ξ（i）（k-1）为随机向量，且与w（k-1）同分布。

第3步：滤波。

1）计算重要性权重

若每次进行重采样，即，则根据式（2-186），有

2）输出

3）根据重采样规则采样N _s个粒子

转第2步循环迭代，其中第2步和第3步可交换。