第一部分 古代的定理

在现代世界中，数学是一个高度一致的学科。世界上任何一个国家都会对同样的等式（例如a2+b2=c2）得出同样的认识与理解，无论在欧洲、亚洲、非洲或美洲，无不如此。

但过去的情况并非总是如此。回顾数学史，特别是古代世界的数学史，我们可以看到研究与学习数学的各种大不相同的途径和推理方式。在这一时期之内，数学逐步进化，脱离了孕育它的学科——测绘、税收、建筑和天文学——变成了一门独立的科学。在埃及与美索不达米亚，算术和几何只不过是书吏的通才教育的一部分。从现今尚存的纸莎草纸文稿和楔形文字书板中看，数学当时似乎只是作为一套规则讲授的，其中几乎没有任何解释。

但另一方面，在古希腊，死记硬背的计算方法像教车师傅一样操纵着哲学思考这个驾驶新手。从毕达哥拉斯与柏拉图起，希腊哲学家们就对数学有着崇高的评价，他们将其视为纯理性的科学，认为它能穿透实际世界虚幻的表面，洞悉其实质。在欧几里得的《几何原本》中，一切几何理论都是从短短几条（据认为）能够自我证明的事实或称公理推导而来的。现代数学就是从这种推导式的说理方法中诞生的，这种方法甚至影响了人类的其他努力。（让我们回顾美国《独立宣言》开篇中的语句：“我们认为这些真理是不言自明的……”该宣言的作者——托马斯·杰斐逊以纯粹欧几里得的方式为一个崭新的社会打下了它将于其上奠基的公理基础。）

在印度，数学（或者说计算）在许多个世纪中从属于天文学，而只在9世纪与10世纪左右才成为独立的学科。但无论如何，有几项重要的发现源于印度，它们当中最重要的当数我们今天使用的十进位制数字系统。在中国，数学（或称数字艺术）的命运在很多个世纪中盈亏圆缺，兴衰交替。在中国唐代（618—907），数学是一门十分受人尊崇的学科，一切学者都必须学习；但另一方面，到了明朝（1368—1644），它却被归入“小学”之列！尽管欧洲数学曾有过难望中国数学项背的过去，但这种态度上的转变或许是中国数学在14世纪之后停滞不前的原因之一，而这一时期正是西方数学开始腾飞的时刻。

最后，伊斯兰世界继承了希腊与印度两大不同的数学传统，并以伊斯兰数学家自己的新发现将之发扬光大，更把这些数学知识传播到了西欧，因此在数学史上占据了独特的地位。奇怪的是，现代数学的决定性转变仅仅发生在西欧……但这是将在后面讨论的课题。