1.5 平面一般力系

本节主要研究平面一般力系的简化与平衡方程的应用问题，同时还介绍力系平衡，考虑摩擦时平衡问题的解法。

各力的作用线处于同一平面内，既不平行又不汇交于一点的力系，称为平面一般力系。如图1.25所示的曲柄连杆机构的受力就属于一般力系。

1.5.1 平面一般力系的简化

设在刚体上作用一平面有一般力系, , , …, ，如图1.26（a）所示，在平面内任取一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将力系中各力都向O点平移，于是原力系就简化为一平面汇交力系, , , …, 和力偶系M1, M2, …, Mn，如图1.26所示。

平面汇交力系的合力，称为平面一般力系的主矢。主矢的大小和方向为：

（1-10）

附加力偶M1, M2, …, Mn组成的平面力偶系的合力矩MO称为平面一般力系的主矩。由平面力偶系的合成可知，主矩等于各附加力偶矩的代数和，也等于各分力对简化中心力矩的代数和，作用在力系所在的平面上，如图1.26（c）所示。即

综上所述，平面一般力系向平面内任一点简化，得到一主矢和一主矩MO，主矢的大小和方向与简化中心的位置无关；主矩的值与简化中心的位置有关。

1.5.2 平面一般力系的平衡方程及其应用

1.平衡条件和平衡方程

根据前面讨论可知，平面一般力系平衡的充分与必要条件是：该力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零，即

由此可得平面一般力系的平衡方程为：

（1-11）

上式是平面一般力系平衡方程的基本形式，它包括三个独立方程，可求解三个未知量。

2.平衡方程的应用

利用平衡方程解题步骤与汇交力系解法一样，即

（1）取研究对象。

（2）画其受力图。

（3）列平衡方程。

在求解具体问题时，为了使每个方程中尽可能出现较少的未知量，从而简化计算，通常坐标轴选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。

例1.6　如图1.27（a）所示，起重机的水平梁AB，A端以铰链固定，B端用拉杆拉住，梁重W=4kN，载荷重F=10kN。试求拉杆和铰链A的约束反力。

解：（1）取AB梁为研究对象。

（2）画受力图。主动力、，拉杆的拉力和支座在A处的约束反力、。

（3）取图1.27（b）所示坐标系，列平衡方程如下：

解方程得：

求解平衡问题时，解方程与投影方程或力矩方程的先后顺序无关。一般先解包含一个未知力的方程，避免求解联立方程，使求解过程简便。

3.平衡方程的其他形式

（1）二矩式方程形式如下：

（1-12）

应用二矩式时，所选坐标轴不能与矩心AB的连线垂直。

（2）三矩式方程形式如下：

（1-13）

在列三矩式方程时，所选矩心A、B、C三点不能在一条直线上。