2.2 时空协作定位
本节推导了空间协作和时空协作两种场景下定位精度的理论极限。与2.1节类似，我们使用EFI方法分析移动节点位置的EFIM，并给出不同网络场景下EFIM结构的比较。
2.2.1 空间协作
首先考虑移动节点利用空间协作在静态网络中进行定位的场景。在这种情况下，有N=1但Na＞1，测量集由
给出。我们感兴趣的参数由所有移动节点的位置组成，记为
。为简单起见，我们在以下定理中给出同步情况下所有移动节点的EFIM。该定理直接适用于第二类异步网络的场景，其中RII需要如式（2-19）中那样进行修改。然而，第一类异步网络情况需要用时钟偏差来增加状态向量的维数，分析过程如式（2-15）所示。
定理2-3：对于具有Na个移动节点的协作网络，移动节点位置p的EFIM是一个2Na×2Na的矩阵，由下式给出：
其中，
和
分别表示来自锚点的信息和协作的信息，有
在式（2-35）中，
表示移动节点k与所有锚点通信对应的EFIM，有
式（2-36）和（2-37）中的Skj表示来自移动节点间测量的RI，由下式给出：
其中，RIIλkj由式（2-4）给出，而ϕkj是从节点k到节点j的角度。
注记5：式（2-34）中的EFIM的结构可以等价表示为式（2-39）的形式。当我们所感兴趣的参数是某些移动节点的位置时，可以通过将其他移动节点的位置视为冗余参数，再次对其移动节点的位置应用EFI分析。
基于2.1节描述的非协作场景，我们下面针对移动节点间的空间协作的结果给出更多的注解。
• 所有移动节点的EFIMJe（p）都可以分解为来自锚点的位置信息
和来自移动节点间协作的位置信息
。矩阵
是块对角矩阵，其中每个块
的大小为2×2，对应于移动节点k的位置信息。与非协作情况一样，每个块是RDM在锚点上的加权和。因此，来自锚点的位置信息在移动节点之间是不相互关联的。然而，矩阵
是高度结构化的矩阵，由不同的RISkj组成，这意味着来自移动节点协作的位置信息会导致耦合的位置估计。换句话说，节点间测量提供移动节点之间的相对位置信息，这需要由移动节点共同利用来进行定位。
• RISkj是整体EFIMJe（p）的基本构成块。每个块对应于在锚点和移动节点之间，或在两个移动节点之间的一个接收信号，并且其强度λkj由信号的功率、有效带宽、多径传播信道及信道先验知识（如果具备的话）确定。此外，移动节点间的协作也仅提供一维信息，与锚点和移动节点之间的距离测量类似，方向是沿连接两个移动节点的方向。
在贝叶斯模型下，当移动节点位置的先验知识可以获得时，表征此类知识的另一个部分会出现在整个EFIM
中，如下式所示：
其中，第一部分是式（2-34）对p求的期望，第二部分表示来自先验知识的信息，由下式给出：
如果对移动节点位置的先验知识所对应的FIM是无穷大的，则可以将此移动节点等价地视为锚点。从这种统一的视角来处理网络中锚点和移动节点的角色，可以帮助协作定位的设计和分析。
关于定理2-3的最终补充是，如果移动节点之间不协作，则
。对应的
变为一个块对角矩阵，如预期一样退化到了非协作情况。因此，定理2-3可以视为包含非协作和协作情形的一般形式。
2.2.2 时空协作
最后，我们考虑结合来自时间协作的节点自身测量的动态场景。现在我们同时有N＞1和Na＞1，并且测量集包括所有空间和时间上的测量，由
表示。我们所感兴趣的参数由所有时刻所有移动节点的位置组成，即
。通过运用EFI分析，关于移动节点位置p的EFIM由以下定理给出。
定理2-4：从时间t1～tN的所有移动节点位置p的EFIM是一个2NNa×2NNa矩阵，可以写成
其中，
和
分别是对应于空间和时间协作的EFIM，有
为方便书写，我们令T（1）=T（N+1）=0。在式（2-43）中，
，写为
其中，
并且在式（2-44）中，
，由
与
给出。
注记6：定理2-4表明，移动节点位置的EFIM可以分解为两部分，即分别对应于空间协作和时间协作，由
和
表示。每部分可以进一步分解为基本构建块
和
，具有下面详述的结构。
• 来自空间协作的信息矩阵
表征了在每个时刻从移动节点和锚点及移动节点之间测量获得的位置信息。它是块对角矩阵，其中每个块S（n）的大小为2Na×2Na，结构如式（2-45）所示，表征在tn时刻的节点间测量信息。特别地，秩为1的子矩阵
表示在tn时刻节点k和j的节点间测量获得的RI；S（n）的第k个对角块是移动节点k和所有其他节点之间的RI的总和，而非对角块是每对移动节点之间的RI求反。
• 来自时间协作的信息矩阵
表征了从每个移动节点的节点内测量获得的位置信息。它具有对角斜纹结构，每个块T（n）的大小为2Na×2Na，表征从时间tn～tn+1的节点自身测量的信息。矩阵T（n）是块对角的，每个块是对应于
的2×2矩阵，这是因为不同移动节点的节点自身测量是独立的。此外，由于节点自身测量与两个连续时刻的移动节点位置有关，
的非对角线上会出现T（n）构建块。如果采用式（1-15）作为节点自身测量模型，则每个构建块简化为
。然而通常来说，
可以是任何2×2的半正定矩阵，这取决于节点自身测量的类型，如距离或方向信息。
在贝叶斯模型下，当移动节点位置及其动态模型的先验知识可以获得时，在式（2-42）中将存在与式（2-40）中类似的附加分量Jp（p）。该部分表征了先验知识的影响，并且它具有类似于
的结构，这是因为关于移动节点动态模型的知识对应于它们在连续时刻位置之间的关系。
为了更直观地表述上述结果，考虑拥有两个时刻、三个移动节点的简单动态网络示例，即Na=3和N=2，FIM和状态与测量的几何表示如图2-3所示。如图2-3（a）所示，在没有协作的情况下，EFIM是块对角矩阵，并且不同移动节点的图是分开的，即
；如图2-3（b）所示，在具有空间协作的场景中，EFIM具有对应于空间协作测量的非对角块，并且该图具有连接不同移动节点的测量节点，即
；如图2-3（c）所示，在具有时空协作的场景中，EFIM还具有对应于时间测量的非对角块，并且该图具有在连续时刻连接移动节点的测量节点，即
。
图2-3 FIM和状态与测量的几何表示
在协作定位与导航中，除了每个时刻的空间协作外，时间协作在连续时刻上能提供另一层信息。
在大多数实时应用中，人们可能只对当前时刻tN的定位性能感兴趣，即EFIMJe（p（N））。它可以基于式（2-42）中EFIMJe（p）的对角斜纹结构递归地推导出来。为了使用递归过程，我们将从tn-1～tn的结转信息的概念定义为
其中，
。根据结转信息，移动节点位置矢量p（n：N）的EFIM可写为
比较式（2-48）和式（2-42）中的初始EFIM表明，结转信息T～（n）保留了在tn-1时刻对于EFIMJe（p（n：N））的所有有用的信息。这些信息通过时间协作从一个时刻转移到下一个时刻。基于式（2-47），每个时刻用于协作定位与导航的结转信息可以被递归求解，并将其用作下一时刻的移动节点位置的先验知识。递归迭代N-1步之后，我们可以获得EFIMJe（p（N））。
注意到空间协作通常导致耦合推断，式（2-47）中的非块对角结构体现了这一点。因此，尽管由于不同移动节点的节点自身测量具有独立性，即T（n）是块对角的，但是结转信息
具有复杂的结构。在分布式网络中，移动节点的位置信息通常不含有由空间协作产生的相关性，并且仅保持其个体（边缘）位置分布。因此，我们通过在每个时刻忽略这种相关性来获得近似的EFIM，这能够体现对整个协作定位与导航过程的直观解释。
对于分布式网络，移动节点k自身在tn-1时刻经过空间协作后的非近似EFIM由下式给出：
忽略结转信息中的相关性之后，空间协作后的EFIM可以近似为
此时，在tn时刻的式（2-47）中的结转信息近似为
其中，移动节点k自身的结转信息为
还要注意，对于没有空间协作的情况，由于式（2-50）中近似不再损失信息，式（2-47）会退化为式（2-52）。
式（2-50）中的近似可以将协作定位与导航中的位置信息演变解释如下。在每个时刻，移动节点执行以下操作。
• 将自身的结转信息视为先验知识，并使用与相邻节点的节点间测量更新其（边缘）位置分布，如空间步骤式（2-49）所示。
• 由自身的位置分布和节点自身测量获得下一时刻的结转信息，如时间步骤式（2-52）所示。