1.4 计算机中的信息表示

1.4.1 计算机中数的表示

在计算机中的信息都是用二进制进行表示的，在二进制中进行数的编码时，将数分为定点数和浮点数。在计算机过程中，小数点位置固定的数叫定点数，小数点位置浮动的数叫浮点数。

定点数常用的编码方案有原码、反码、补码、移码4种。

1.4.2 计算机中非数值数据的表示

信息一般表示为数据、图形、声音、文本和图像，在计算机中只能识别二进制，因此需要对其进行编码。如字母和常用符号的编码、汉字编码等。

1.4.3 进位计数制

数制是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。其中，按照进位方式计数的数制称为进位计数制。

进位计数制中每个数码的数值不仅取决于数码本身，其数值的大小还取决于该数码在数中的位置，如十进制数828.41，整数部分的第1个数码“8”处在百位，表示800；第2个数码“2”处在十位，表示20；第3个数码“8”处在个位，表示8；小数点后第1个数码“4”处在十分位，表示0.4；小数点后第2个数码“1”处在百分位，表示0.01。也就是说，处在不同位置的数码所代表的数值不相同，分别具有不同的位权值，数制中数码的个数称为数制的基数，十进制数有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数码，其基数为10。

设R表示基数，则称为R进制。使用R个基本的数码，Ri就是位权，其加法运算规则是“逢R进一”，任意一个R进制数D均可以展开表示为：

上式中的Ki为第i位的系数，可以为0,1,2,…,R-1中的任何一个数，Ri表示第i位的权。表1-2所示为计算机中常用的几种进位计数制的表示。

1.4.4 不同数制之间的相互转换

1.非十进制数转换为十进制数

将二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数时，只须用该数制的各位数乘以各自位权数，然后将乘积相加，用按权展开的方法即可得到对应的结果。

2.十进制数转换成其他进制数

将十进制数转换成二进制数、八进制数和十六进制数时，可将数字分成整数和小数分别转换，然后再拼接起来。

例如，将十进制数转换成二进制数时，整数部分采用“除2取余倒读”法，即将该十进制数除以2，得到一个商和余数（K0），再将商数除以2，又得到一个新的商和余数（K1），如此反复，直到商是0时得到余数（Kn-1）；然后将得到的各次余数，以最后余数为最高位，最初余数为最低依次排列，即Kn-1…K1 K0，这就是该十进制数对应的二进制整数部分。

小数部分采用“乘2取整正读”法，即将十进制的小数乘2，取乘积中的整数部分作为相应二进制小数点后最高位K-1，取乘积中的小数部分反复乘2，逐次得到K-2K-3…K-m，直到乘积的小数部分为0或位数达到所需的精确度要求为止；然后把每次乘积所得的整数部分由上而下（即从小数点自左往右）依次排列起来（K-1K-2…K-m），即为所求的二进制数的小数部分。

同理，将十进制数转换成八进制数时，整数部分除以8取余，小数部分乘8取整；将十进制数转换成十六进制数时，整数部分除以16取余，小数部分乘16取整。

3.二进制数转换成八进制、十六进制数

二进制数转换成八进制数所采用的转换原则是“3位分一组”，即以小数点为界，整数部分从右向左每3位为一组，若最后一组不足3位，则在最高位前面添0补足3位，然后将每组中的二进制数按权相加得到对应的八进制数；小数部分从左向右每3位分为一组，最后一组不足3位时，尾部用0补足3位，然后按照顺序写出每组二进制数对应的八进制数即可。

二进制数转换成十六进制数所采用的转换原则与上面的类似，为“4位分一组”，即以小数点为界，整数部分从右向左、小数部分从左向右每4位一组，不足4位用0补齐即可。

4.八进制、十六进制数转换成二进制数

八进制数转换成二进制数的转换原则是“一分为三”，即从八进制数的低位开始，将每一位上的八进制数写成对应的3位二进制数即可。如有小数部分，则从小数点开始，分别向左右两边按上述方法进行转换即可。

十六进制数转换成二进制数的转换原则是“一分为四”，即把每一位上的十六进制数写成对应的4位二进制数即可。

1.4.5 二进制数的算术运算

1.二进制的算术运算

二进制的算术运算也就是通常所说的四则运算，包括加、减、乘、除，运算比较简单，其具体运算规则如下。

·加法运算：按“逢二进一”法，向高位进位，运算规则为：0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=10。

·减法运算：减法实质上是加上一个负数，主要应用于补码运算，运算规则为：0-0=0、1-0=1、0-1=1（向高位借位，结果本位为1）、1-1=0。

·乘法运算：乘法运算与我们常见的十进制数对应的运算规则类似，规则为：0×0=0、1×0=0、0×1=0、1×1=1。

·除法运算：除法运算也与十进制数对应的运算规则类似，规则为：0÷1=0、1÷1=1，而0÷0和1÷0是无意义的。

2.二进制的逻辑运算

计算机所采用的二进制数1和0可以代表逻辑运算中的“真”与“假”“、是”与“否”和“有”与“无”。二进制的逻辑运算包括“与”“或”“非”“异或”4种。

·“与”运算：“与”运算又称为逻辑乘，通常用符号“×”“∧”“·”来表示。其运算法则为：0∧0=0、0∧1=0、1∧0=0、1∧1=1。通过上述法则可以看出，当两个参与运算的数中有一个数为0时，其结果也为0，此时另一个数是没有意义的。只有当数中的数值都为1时，结果为1，即只有当所有的条件都符合时，逻辑结果才为肯定值。

·“或”运算：“或”运算又称为逻辑加，通常用符号“+”或“∨”来表示。其运算法则为：0∨0=0、0∨1=0、1∨0=1、1∨1=1。该法规表明只要有一个数为1，则结果就是1。

·“非”运算：“非”运算又称为逻辑否运算，通常是在逻辑变量上加上划线来表示，如变量为A，则其非运算结果用表示。其运算法则为：=1、=0。

·“异或”运算：“异或”运算通常用符号“”表示，其运算法则为：00=0、01=1、10=1、11=0。该法规表明，当逻辑运算中变量的值不同时，结果为1；而变量的值相同时，结果为0。