2．5　半无限空间中瑞利波（Rayleigh）的频散特性

2．5．1　半无限弹性体中波动方程及其基本解

当波头距离波源一定距离后，波头可以近似地看成为平面，即在图2－30中，波的特征在y方向不发生变化。

因此，在弹性波的基本方程中，含项全部为0，有：

若将该微分方程的位移用变形能Φ和Ψ表示：

并代入式（2－99），有：

此时，应力为：

其他的应力分量，σy＝τxy＝τyz＝0。

2．5．2　2维问题的一般解

式（2－102）中的各式，无论Φ、Ψ还是v，均仅有一个变量。例如，对于Φ，其解为：

将式（2－103）代入式（2－102）中的第一式，有：

式（2－105）又被称为Helmholtz方程。采用分离变量法，容易得到该方程的解为：

式中ζ，η——波的传播方向向量，且有：

为解的成立条件。

此外，在式（2－107）的解中，若

此时，η变成虚数，式（2－106）变为：

式中，指数项中±的取值，也就是波的形态则取决于边界条件。

同样，Ψ和v也可得到同样的解。

2．5．3　2维弹性体中的P波、SV波和SH波

在仅Φ存在时，根据式（2－106）、式（2－100）、式（2－101），位移可由式（2－110）得到：

当仅Ψ存在时，有：

可得：

此时，位移的向量（－η，ζ）与波的传播向量（ζ，η）互相垂直。因此，Ψ导出的位移为在xz面内与传播方向垂直的横波。而且，由于在z方向存在位移，因此，又被称为SV波。

此外，若仅存在v的横波则被称为SH波。根据式（2－99），v的微分方程与u、w相分离，在z为常量的面上能够单独成立。因此，SH波可单独存在。相反，Φ和Ψ通过u，w互相影响，因此，纵波和SV波一般难以单独存在。

进一步，考虑到波在前后两个方向均可传播，因此平面波的势能可以表达成下面4个函数：

以上解具有以下特性：

（1）各分量均沿x方向传播。

（2）各式中，若为实数，则Φ＋和Ψ＋均表示沿＋z方向传播的波。因此，Φ＋和Ψ＋也称为入射波。Φ－和Ψ－沿－z方向传播，可解释为反射波。

（3）式中，若（ω/vP）2＜ζ2，中（ω/vS）2＜ζ2，则均为虚数。如此一来，z方向传播波的振幅为实数。进而，由于vs＜vP，因此，波的传播以P波包含S波的形式出现。

对于半无限体而言，在z＝0的面上为自由表面，在该面上的应力为：

一般地，势能Φ和Ψ可以表示为：

将式（2－99）、式（2－103）、式（2－105）和式（2－112）代入到式（2－117）中整理后可得各参数的相互关系：

或者

2．5．4　半无限体中瑞利波的相位速度

如上所述，当（ω/vP）2＜ζ2和（ω/vS）2＜ζ2时，和均为虚数。如此一来，＋z方向传播的Φ－和Ψ－随z的增加会变得无穷大，这显然不合理。因此，Φ－和Ψ－应为0，从而可以得到：

进而，式（2－119）和式（2－120）有解的必要条件为：

若令

式（2－122）整理后可得：

式（2－124）有实根的前提是均为虚数，即：

式（2－124）左右分开，平方处理后即可得到关于波速的方程：

尽管式（2－126）为的3次方程，但可以证明其仅有一个实根，这就是瑞利（Rayleigh）波，可简称为R波，vR就是半无限弹性体中瑞利波的波速。

同时，在式（2－126）中，仅有一个变量。如前所述，vS和vP仅仅依存于材料的力学特性而与波的频率无关，由此可见，瑞利波也是非频散波。

给定，对式（2－126）采用数值解即可得到。