2.4 振动离心脱水机物料运动的理论
我国煤炭工业中应用的振动离心脱水机用于细粒煤和煤矿泥的脱水。振动离心脱水机有立式和卧式两种。立式和卧式振动离心脱水机的特点是：它们的主轴分别为立式和卧式安装。它们的工作机体为带有筛孔的锥体，锥体内需要脱水的物料在离心力的作用下，其中的水分从锥体的筛孔中甩出，由于锥体的轴向振动，物料将从锥体的小端逐渐向大端移动，并从大端排出。
物料在锥体内的受力情况如图2-18所示。分析振动离心机中物料的运动，通常是先从部分物料的颗粒着手，然后通过试验，对理论分析的结果加以修正。
2.4.1 立式振动离心脱水机物料运动的基本特征
当振动离心机的物料与锥体一起运动而无相对运动时，作用于物料上的力有：物料随机械一起转动而产生的惯性力
（m为物料质量，ωc为锥体回转的角速度，rc为物料所在位置的半径）、物料本身的重力G=mg（因与离心力相比很小，所以可忽略）、物料随锥体纵向振动的惯性力Fz=mω2λsinωt（ω为振动圆频率，λ为振幅）和锥体对物料的摩擦力。
图2-18 振动离心脱水机锥体内的物料受力分析
a）立式振动离心脱水机 b）卧式振动离心脱水机
当物料出现沿锥体母线滑动时，假设半径rc变化很小，则物料作用于锥面上的正压力为
而沿锥体母线方向的惯性力分力与重力分力之和为
式中 α0——锥面与轴线的夹角；
——物料沿母线方向对锥体的相对加速度。
锥体对物料的摩擦力为
式中 f0——物料对锥体的静摩擦因数；
f——物料对锥体的动摩擦因数。
1. 正向滑动指数Dk、反向滑动指数Dq与抛掷指数D
为了使振动离心脱水机正常有效地工作，物料与锥面必须保持经常的接触，也就是物料对锥面的正压力Fn应大于零，即由式（2-101）得
当sinωt=1时，式（2-103）左边的值最小，化简后得
式中 D——抛掷指数。
为了使物料与锥体经常保持接触，由式（2-104）看出，抛掷指数D应小于1，即
D<1
当物料沿x方向（见图2-18）的惯性力分力和重力分力的和与摩擦力f0Fn相等时，物料便会开始正向滑动与反向滑动，即
式中等号左边最后一项的“-”号表示正向滑动，而“+”号表示反向滑动。
将式（2-101）中的Fn代入上式，取
=0，经化简，可以求得物料开始正向滑动和反向滑动的滑始角φk0和φq0：
式中 D k0——正向滑动指数；
Dq 0——反向滑动指数。
由式（2-106）看出，正向滑始角φk0在0°～180°范围内，而反向滑始角φq0在180°～360°范围内。
为了保证振动离心脱水机正常工作，必须取正向滑动指数Dk0>1，由于反向滑动对离心机来说没有实际的意义，所以通常取反向滑动指数Dq0<1或Dq0≈1。
2. 正向与反向滑动理论平均速度的近似计算
近似计算以下面两个假定条件为基础：物料沿圆周方向相对速度甚小，因而可以忽略；在每次滑动过程中rc的值变化不大，因而rc可视为常数。
在上述假定的条件下，参照式（2-102），可写出物料颗粒沿锥体母线方向的运动方程为
式中 f——物料对工作面的动摩擦因数；
μ——动摩擦角。
根据式（2-107）可求出物料正向滑动和反向滑动的相对速度为
其中
式中 φk、φq——假想正向滑始角与假想反向滑始角；
Dk、Dq——假想正向滑动指数与假想反向滑动指数。
参照式（2-108），当φ=φm0及φ=φe0时，可得正向滑动与反向滑动的终结条件为
式中 φm0——正向滑止角；
φe 0——反向滑止角。
当正向滑始角φk0及假想正向滑始角φk按式（2-106）和式（2-108）求得后，便可按图2-3查出正向滑止角φm0，用类似方法可查出反向滑止角φe0。
与直线振动机械完全相同，物料每次滑动的相对位移为
其中
速度系数Pkm和Pqe可分别按图2-3查出。
物料正向滑动与反向滑动的平均速度为
式中 λ——振幅（m）；
ω——振动圆频率（rad/s）。
用于细粒煤及煤泥脱水的振动离心机，静摩擦因数f0通常为0.4～0.6，动摩擦因数f为0.15～0.4。
3. 正向与反向滑动理论平均速度的精确计算
精确计算方法考虑了滑行运动过程中半径rc的变化，即
式中 r0——开始滑动点的半径；
α 0——锥面与垂直线的夹角；
Δx——物料滑动后所在位置与初始位置的距离。
将式（2-112）代入式（2-107）中，即得物料颗粒沿锥体母线方向运动的精确方程：
式中 “-”号表示正向滑动，“+”号表示反向滑动。
将式（2-114）化简，可得以下正向滑动的方程：
设
代入式（2-114），得
式（2-115）为二阶线性非齐次微分方程式。由式（2-114）看出，对于振动离心脱水机，μ通常较α0为大，所以
为正值。这时，方程式（2-115）有以下形式的解，也就是相对位移Δx具有以下的表示式：
式中 C1、C2——积分常数。
C 1和C2是由初始条件决定的。当ωt0=φk0时，Δx=0，
=0，也就是物料开始正向滑动的瞬时，相对位移和相对速度均等于零。将
代入式（2-116）中，可得
及
由式（2-117）和式（2-118）可联立解出：
将C1和C2代入式（2-116），并化简得
而相对滑动速度为
当t=tm=
时，正向滑动才告终止，将tm代替式（2-121）中的t，取
=0，得正向滑动的终止条件为
或
其中
θk=φm-φk0
式中 φm——正向滑止角；
θk——正向滑动角。
正向滑始角φk0可由式（2-106）求出：
其中
当
很小时，则式（2-122）可化简为
其中
当φk0与φk按式（2-106）和式（2-124）求出后，滑动角θk和滑止角φm可按图2-3查出。
由式（2-120）得正向滑动的相对位移：
当ω2＞＞
时，则式（2-125）可简化为
这一结果与重力场中直线振动机械正向滑动平均速度的计算公式是相似的。因此，只要计算出φk0和φk，便可求出正向滑动的相对位移Δxk。
当精确计算时，正向滑动的物料平均速度为
若用f来代替tanμ，则式（2-127）可化为
若
的值已知，且Dk=Dk0，即φk=φk0（当μ=μ0时），则θk可由图2-19[按式（2-122）画出的曲线]查出。
图2-19 当
=0及0.2时φk0（或φq-180°）与θk（或θq）的关系
当物料做反向滑动时，其平均速度公式可用相似的方法导出：
其中
物料的实际平均速度为
式中 Ch——物料层的厚度影响系数。
2.4.2 卧式振动离心脱水机物料运动的基本特征
卧式振动离心脱水机与立式振动离心脱水机物料所受作用力的区别是：在卧式振动离心机中，离心力与重力在同一垂直平面内，因此，式（2-106）和式（2-108）的正向滑动指数Dk0、Dk及反向滑动指数Dq0、Dq应改写成以下形式
式中 ωct——锥体经时间t后转过的角度。
由于在卧式振动离心机中，
和g在同一垂直平面内，同时，
＞＞g，所以略去上式分母中的后一项，不会引起显著的计算误差，这时，式（2-131）可写为
因而正向滑动与反向滑动的最小滑始角φk0、φq0及假想滑始角φk、φq可按式（2-133）求出
根据求得的φk0、φk、φq0、φq，按图2-3查出θk或θq，然后按式（2-127）及式（2-129）计算出物料理论平均速度，并进而按式（2-130）计算出实际平均速度。
2.4.3 振动离心脱水机的运动学参数及工艺参数的计算
振动离心脱水机的运动学参数包括锥体斜角α0、锥体转速nc、锥体的振动次数n及振幅λ、物料运动平均速度v和在锥体中停留的时间t等。脱水机的工艺参数包括产量与脱水效率等。
1．锥体的转速nc与直径dc
根据振动离心机所处理物料的性质及工艺上的要求，可以选取不同的离心强度。离心强度是指物料所受的向心加速度
与重力加速度g的比值：
式中 rc、dc——离心机锥体的半径与直径；
n c——锥体每分钟的转数。
在选定所需的离心强度Kc以后，可以根据式（2-134）计算所需的锥体转速nc或直径dc。当dc确定后，转速nc为
当首先确定转速nc以后，则直径为
振动离心机的直径dc一般以锥体直径大的一端进行计算。而振动离心机的离心强度Kc通常在40~120范围内选取。
2．锥体的斜角α0
锥体的斜角为其锥角的1/2。实践指出，振动离心脱水机与其他形式的离心脱水机相比，它的脱水效率和单位面积产量较高，当调节某些参数时，可以改变排料速度。但是上述优点只有在锥面倾斜角α0小于摩擦角μ的情况下才能显示出来。所以通常取斜角为
式中 μ——物料对锥面的动摩擦角。
3．物料运动状态与滑动指数Dk0、Dq0的选取
振动离心脱水机一般不希望出现反向滑动和跳动。因为反向滑动会增加筛网的磨损，而跳动会减小物料的离心力，从而降低脱水效率。所以在振动离心脱水机中，采用的是单有正向滑动的运动状态。所选取的正向滑动指数、反向滑动指数和抛掷指数分别为
4．锥体轴向振动的振动次数n和振幅λ
参照式（2-106），振动次数n和振幅λ可按式（2-139）计算。
对于立式振动离心机
或
对于卧式振动离心机
或
5. 物料沿锥面滑动的平均速度v及在锥体中停留的时间t
物料在锥体中滑动的总距离为
（H为锥体高度），它是在锥体中每次滑动相对位移的叠加，即
式中 Si——第i次滑动的相对位移[式（2-110）]；
j——物料在锥体中滑动的总次数。
当滑动总次数j确定后，物料在锥体中停留的时间为
物料沿锥面整个高度滑动的平均速度则为
若给料端平均速度va和排料端平均速度vb相差不大，则物料在锥体内的总平均速度vm为
已知平均速度后，便可求出物料在锥体中停留的总时间为
显然，物料在锥体中停留的时间越长，产品的含水量应越低，但机器的产量就会下降。因此，在物料层厚度合适的情况下，还应选取合适的平均速度。
6. 锥体内物料层厚度h与平均速度V及半径r的关系
设通过筛孔排出的固体物料占给入的固体物料的b%，则排料端和给料端固体物料层厚度的比为
式中 hb、ha——排料端和给料端物料层的厚度；
r b、ra——排料端和给料端处锥体的半径。
给料端与排料端物料层的厚度不应相差过大，以免影响脱水效果。
7．离心脱水机的生产率
按脱水后固体物料计算的生产率为
式中 vb——排料端物料运动的平均速度（m/s）；
r b——锥体排料端的平均半径（m）；
h b——排料端物料层厚度（m）；
Q B——离心脱水机的生产率（t/h）;
γ——物料松散密度（t/m3）。
当考虑排料中的水分（占排料的a%）时，则其生产率为
如滤液中的固体为原料中固体的b%，原料中的含水量为c%，则按原料计算的生产率为
8．锥体中的物料质量
锥体中固体物料质量可按实际生产率求出
当考虑物料中含水分时，则物料质量为
式中 b′——物料中的平均含水量。