![工程力学](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/256/40936256/b_40936256.jpg)
任务五 梁的内力分析
一、梁的内力
如图3-15(a)所示,简支梁AB在荷载F和支座反力FA、FB的共同作用下处于平衡状态,用截面法分析截面n-n上的内力。
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图3-15
(1)假想用截面n-n将梁分为两段。
(2)取左段为研究对象[图3-15(b)]。舍弃部分对保留部分的作用用截面上的内力代替,则内力与外力FA平衡。显然,FA有使左梁段上下移动和绕截面形心O转动的作用,因而截面上相应有与之平衡的两种内力Q、M。
剪力Q——限制梁段沿截面方向移动的内力,单位为N或kN。
弯矩M——限制梁段绕截面形心O转动的内力矩,单位为N·m或kN·m。
(3)由梁段的平衡条件
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若研究右梁段的平衡,可得同样结果,如图3-15(c)所示。
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为了取不同的研究对象计算同一截面的内力时数值和符号均相同,梁的内力符号规定为:
剪力Q:使截面邻近的微梁段有顺时针转动趋势的剪力为正值,反之为负值[图3-16(a)]。
弯矩M:使截面邻近的微梁段产生下边凸出,上边凹进变形的弯矩为正值,反之为负值[图3-16(b)]。
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图3-16
【例3-4】 已知简支梁AB如图3-17(a)所示。求距左端支座2m处截面上的内力。已知F1=20kN,F2=40kN。
解:(1)求支座反力。由整体的平衡条件得
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(2)用截面法求内力。截取截面左段梁为研究对象,画受力图如图3-17(b)所示,为便于判断计算结果,图中未知内力都按符号规定的正向假设。由左段梁平衡条件得
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计算结果均为正值,实际内力方向如图3-17(b)、(c)所示。
由以上计算结果可见,由梁上外力可直接计算截面上的内力。
(1)梁任一横截面上的剪力,在数值上等于该截面一侧梁段上所有外力在截面上投影的代数和,即Q=∑FiQ。
(2)梁任一横截面上的弯矩,在数值上等于该截面一侧梁段上所有外力对截面形心力矩的代数和,即M=∑MO(FiQ)。
由外力直接判断内力符号的方法如下:
(1)对截面产生顺时针转动趋势的外力(截面左侧梁上所有向上的外力或截面右侧梁上所有向下的外力)在截面上产生正剪力;反之产生负剪力,如图3-18(a)所示。
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图3-17
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_38.jpg?sign=1738997175-5WV4fKnqjOY44OK88XDHtkfr4WoAvHMx-0-1687c20ccfa14a806e0bd3a3dec18b23)
图3-18
(2)使梁段产生下边凸出、上边凹进变形的外力(截面两侧梁上均为向上的外力,使梁产生左侧截面顺时针、右侧截面逆时针的外力矩)在截面上产生正弯矩;反之产生负弯矩,如图3-18(b)所示。
直接由外力计算截面内力时,先看截面一侧有几个外力,再由各外力方向判断产生内力的符号,最后计算各项代数和确定截面内力。
【例3-5】 简支梁上作用集中力F=1kN,集中力偶m=4kN·m,均布荷载q=10kN/m,如图3-19所示。试求截面1-1和截面2-2上的剪力和弯矩。
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图3-19
解:(1)求支座反力。由整体的平衡条件,可得
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(2)求内力。
截面1-1左侧外力为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_41.jpg?sign=1738997175-cBLL3TTScQgRujNowANiEYIYkU1Awt8i-0-452932fbf9566b02e5c4db80840a702b)
截面2-2右侧外力为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_42.jpg?sign=1738997175-20Fub2EJNvmvP5zIQlVTYtihHlD2aEMb-0-1eeba6c2d15e60d538b59f2e5a6350bc)
【例3-6】 外伸梁受荷载作用如图3-20所示。图中截面1-1、截面2-2分别无限接近于截面A的左侧、右侧,截面3-3、截面4-4分别无限接近于跨中截面的左侧、右侧。试求图示各截面的剪力和弯矩。
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图3-20
解:(1)求支座反力。取整体为研究对象,由
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_44.jpg?sign=1738997175-4W7oMjk6gX4QWM6PLiqtaunncvG5vTvJ-0-1f59af9c01ebc849a6c7597a16bd0e14)
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_45.jpg?sign=1738997175-f9zLV8xRJVPY5pA5cDW6eexy5kBoA8DY-0-4f2451a8a00884e9a3847bfbcb23d617)
校核:∑Fy=FA+FB-F=1.25F-0.25F-F=0,计算无误。
(2)计算指定截面的剪力和弯矩。由截面左侧梁段上外力计算:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_46.jpg?sign=1738997175-8qyiypVG1zhAGSDzEjaRk4zlkIYBO9Ol-0-425499ba7cf4f61413105c36c1341edd)
由截面右侧梁段上外力计算:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_47.jpg?sign=1738997175-dzk6oLak0s4FQPXBzYqMWexsD2b2VJIU-0-ff2df379979306884110a376826e10a1)
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_48.jpg?sign=1738997175-fpB6YhnlkaHhniSaeAKylbdMR5Uxl1e6-0-54cd4e57532637a2ec5955eff5c6cd18)
比较截面1-1、截面2-2的内力:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_49.jpg?sign=1738997175-vAC0H0bwQWPpk5p7EjXgmifkY6DQwVWQ-0-d0990d439b7d1706f37d83277c698bdc)
可见,在集中力左右两侧截面上,弯矩相同,剪力发生突变,突变值等于该集中力值。
比较截面3-3、截面4-4的内力:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_50.jpg?sign=1738997175-opUtemzhoiKD8ErMpFa8fkHi1XViGLng-0-72fa1e2da052523acb501c5a3567097f)
可见,在集中力偶左右两侧横截面上,剪力相同,弯矩发生突变,突变值等于该集中力偶的力偶矩。
由此可知,计算集中力和集中力偶作用截面的内力时,须分别计算该截面两侧相邻截面的内力。
【例3-7】 试求图3-21所示外伸梁C、A、E、B、G各截面上的内力。已知F=3kN,q=1kN/m,m=6kN·m。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_51.jpg?sign=1738997175-qaHZouwBXFpassiQSP1t3vQJR0ItBqjQ-0-e422ef8174f0589d8ed72787bac9fdb7)
图3-21
解:(1)求支座反力。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_52.jpg?sign=1738997175-UsgPaZFAQJOfVVMMfNPEZTdvM6MCY7FT-0-54673be938cf12e3fff74a9c49d44b0b)
(2)计算各截面内力。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_53.jpg?sign=1738997175-nHruOcWacn1lviaXQNyitroj6EnbxO7h-0-d742c1f85dd619623f92d67214c6fc1a)
二、剪力图和弯矩图
进行梁的强度和刚度计算时,除需要计算指定截面的内力外,还必须了解剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律,并确定最大内力值及其作用位置。由梁横截面的内力计算可知,一般情况下,梁在不同截面上的内力是不同的,即梁各截面的内力是随截面位置而变化的。若取梁轴线为x轴,坐标x表示各截面位置,则梁各截面上的剪力和弯矩均为x坐标的函数:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_54.jpg?sign=1738997175-RvG8XLvfgCfuKZXcfpx9REaqSghqx1T8-0-5b29359b6150db9615942d45eb8bcff4)
此函数关系即内力方程,分别称为剪力方程和弯矩方程。为使内力方程形式简单,可任意选定坐标原点和坐标轴方向。
为了直观地显示梁各截面剪力和弯矩沿轴线的变化规律,可绘出内力方程的函数图形,称为剪力图和弯矩图。其绘图方法与绘轴力图和扭矩图相仿,以平行梁轴线的横坐标x表示各横截面位置,以垂直梁轴线的纵坐标表示各横截面的内力值,选适当比例绘图。
在土建工程中规定:正值的剪力画在轴线上方,负值的剪力画在轴线下方;正值的弯矩画在轴线下方,负值的弯矩画在轴线上方,即弯矩图画在受拉侧,一般可不标正、负号。
绘制梁的内力图的基本方法是首先列出梁的内力方程,然后根据方程作图。这种绘梁内力图的方法可称为方程式法。下面举例说明。
【例3-8】 悬臂梁在自由端作用集中荷载F,如图3-22(a)所示。试绘制其剪力图和弯矩图。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_55.jpg?sign=1738997175-0XNMwgh2vjLaemY6XOcAIaIh01nRqQFw-0-ac68e0c43af3517a47708f8468750acb)
图3-22
解:(1)建立剪力方程和弯矩方程。将坐标原点取在梁左端A点,截取任意截面x的左段梁为研究对象,由平衡条件分别列出该截面的剪力和弯矩的函数表达式,即该梁段的剪力方程和弯矩方程。
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(2)绘剪力图和弯矩图。由式(a)可知,剪力函数为常量,该梁的剪力Q不随截面位置而变化。取直角坐标系xAQ,选适当比例尺,画出梁的剪力图为平行于x轴的水平线,因各截面剪力均为负值,故剪力图画在轴下侧,并注明负号[图3-22(b)]。
由式(b)可知,弯矩M为x的一次函数,故弯矩图为一条斜直线。一般由梁段两端的弯矩值来确定该直线:在x=0处,MA=0;在x=l处,MB=-Fl。取直角坐标系xAM,选适当比例绘弯矩图。因M为负值,按规定M图画在轴上侧,可不注负号[图3-22(c)]。
(3)确定内力最大值。由图可见:|Q|max=F,发生在全梁各截面;|M|max=Fl,发生在固定端截面上。
内力图特征为:无荷载作用的梁段上,剪力图为水平线,弯矩图为斜直线。
【例3-9】 简支梁受集度为q的均布荷载作用,如图3-23(a)所示。试作其剪力图和弯矩图。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_57.jpg?sign=1738997175-k5qJM9DPb9za5IVrvk1048sSVo3LejZ0-0-b12b3493bafaa9043a11f03aa2f445be)
图3-23
解:(1)求支座反力。由结构和外力的对称性,可知两支座反力相等,即
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_58.jpg?sign=1738997175-BQ418KZJ0LsRNr5AkdcWkLUvV5NNCY1h-0-ac4724c275819edc51aaed30e93c2f39)
(2)建立剪力方程和弯矩方程。坐标原点取在A端,根据任意截面x左侧梁段外力直接求截面内力:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_59.jpg?sign=1738997175-tDtSPIPih4GNT7eTuxEe7yvWlZEZBKDI-0-108098214a156b60462e8aa3e4a2ee52)
(3)绘剪力图和弯矩图。由剪力方程(a)可知,剪力为x的一次函数,剪力图为斜直线。在x=0处,QA=0.5ql;在x=l处,QB=-0.5ql。选合适比例定两点作剪力图[图3-23(b)]。注明正负号,可不画坐标轴。
由弯矩方程式(b)可知,弯矩为x的二次函数,弯矩图为二次抛物线,确定曲线至少需要三个点。在x=0处,MA=0;在x=l处,MB=0;在x=0.5l处,MC=。选合适比例在受拉侧作弯矩图[图3-23(c)]。M图上有极值点。由弯矩函数的一阶导数(剪力函数)为零确定极值点位置,再代入弯矩方程求出M极值。如本题,由M'(x)=0.5ql-qx=0,得x=0.5l,代入弯矩方程,得
,在跨中截面。
(4)确定内力最大值。由内力图可直观确定:|Q|max=0.5ql,在A、B两端截面。
内力图特征:在均布荷载q作用的梁段,剪力图为斜直线;弯矩图为二次抛物线,曲线弯曲方向与q指向相同;在剪力为零的截面,弯矩有极值。
【例3-10】 简支梁AB在C点处作用集中力F,如图3-24(a)所示。试作梁的内力图。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_62.jpg?sign=1738997175-nVdFqT6RsK7YSTCT5g7aNTW1qalwojY6-0-05f6fb911cda87cd586a233ee77f0572)
图3-24
解:(1)求支座反力。由整体平衡方程得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_63.jpg?sign=1738997175-lyDuB10pKPLg7QrahgKZpiMZlBKCFkDd-0-435b7c13b756d49cd443286a3a5f9ad9)
(2)建立剪力方程和弯矩方程。因集中力两侧杆段的内力变化规律不同,故剪力方程和弯矩方程应分AC、CB两段分别列出。
AC段:坐标原点取在A端,取任意截面x1左侧梁段为研究对象,由外力直接求截面内力:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_64.jpg?sign=1738997175-WJxIHjFTomTCQYHrCDVEKrwVC8hR3rSf-0-da717a8e922166ad487a4c897680b37d)
CB段:为使内力方程形式简单,坐标原点取在B端,取任意截面x2右侧梁段为研究对象,由外力直接求截面内力为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_65.jpg?sign=1738997175-pRchuGjzvLEHe5m8Xif9SNlCmGoVFlcS-0-a881eda4ee3aa6a21a37c667315f298b)
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_66.jpg?sign=1738997175-14zOagDA4sXGtSQr72WQtS8oAzZ0nZYI-0-a344bf03dd3d9769f6bf5ae92757bfe5)
(3)绘剪力图和弯矩图。由式(a)、式(c)可知,剪力与x无关,为常量,在AC段为正值,在CB段为负值,故剪力图为两段水平线,如图3-24(b)所示。
由式(b)、式(d)可知,在AC、CB梁段,M均为x的一次函数,故弯矩图为两段斜率不同的斜直线,在x=0处,MA=0;在x1=a处,MC=Fab/l;在x2=0处,MB=0;在x2=b处,MC=Fab/l。作弯矩图如图3-24(c)所示。
(4)确定内力最大值。由内力图可知:
|Q|max=Fb/l(b>a),在AC梁段各截面;|M|max=Fab/l,在C截面。
如果集中力F作用在跨中截面,即a=b=l/2时,|M|max=Fl/4,在跨中截面。
内力图特征:在集中力F作用截面,剪力图有突变,突变的绝对值为F;弯矩图有尖角,尖角的指向与F相同。
剪力图在集中力作用处不连续的情况,是由于忽略集中力作用面积的简化结果。实际上,集中力总是分布在梁上某一范围内,若将力F按作用在梁微段上的均布荷载处理,则剪力图将不会发生突变,如图3-25所示。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_67.jpg?sign=1738997175-0gdhuWwUqKXYE07Q9QDS6nfV04BjDrIH-0-1564cf8df303e9bcef0448e5da13caa5)
图3-25
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_68.jpg?sign=1738997175-HL0DkNstCDiymAxxEM9KkXupzAH6eSCN-0-c082d96312b5df6959b15b3b27e4d95e)
图3-26
【例3-11】 简支梁AB在C处作用一集中力偶m,如图3-26(a)所示。试作其内力图。
解:(1)求支座反力。由整体平衡方程得
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校核无误。
(2)建立剪力方程和弯矩方程。由于集中力偶作用截面左、右两侧梁段内力变化规律不同,应分段列内力方程。
AC段:取坐标原点为A点,由x1截面左侧梁段外力,直接求截面内力:
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CB段:坐标原点取在B端,由x2截面右侧梁段外力,直接求截面内力:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_71.jpg?sign=1738997175-WDKGt5KugdV9xgTJyDHwuU8eg1zhSNJN-0-987ef3cd762c06b371cc8ba8eda7514f)
![img](https://epubservercos.yuewen.com/77B9C9/21277064501838606/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_72.jpg?sign=1738997175-fJQRsXwOORCfmmqCIgAOKd99r3CIk6Xr-0-adedbdf20b5429c85b925176563d891a)
(3)绘内力图。由式(a)、式(c)可见,AC、CB梁段剪力相同,剪力图为水平线,如图3-26(b)所示。
由式(b)、式(d)可见,AC、CB梁段弯矩均为x的一次函数,弯矩图为两条斜率不同的斜直线。在x1=0处,MA=0;在x1=a处,MC左=-ma/l;在x2=0处,MB=0;在x2=b处,MC右=mb/l。绘梁弯矩图,如图3-26(c)所示。
(4)确定内力最大值。设a<b,从内力图上直观确定|Q|max=m/l,沿全梁各截面;|M|max=mb/l,在截面C右处。
内力图特征:在集中力偶作用处,剪力图不受影响;弯矩图发生突变,突变值等于该力偶矩的大小。