第3章 最优控制基础

3.1 最优控制问题的提出[1]

在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其他有目的的活动中,常需要对被控系统或被控过程施加某种控制作用以使某个性能指标达到最优,这种控制作用称为最优控制。下面,结合本书的应用对象,列举一个简单的最优控制例子。

例3⁃1　对于月球软着陆,假设飞行轨迹垂直向下,并且着陆器接触月面时的速度为0,

要求寻找着陆过程中发动机推力的最优控制规律,使得燃料消耗最少。设着陆器的质量为m(t),离月球表面的高度为h(t),着陆器的垂直速度为v(t),发动机推力为u(t),月球表面的重力加速度为g。设着陆器干质量为M(不含推进剂),初始燃料的质量为F,则着陆器的运动方程可表示为(如图3⁃1所示)

(3⁃1)

式中,I_sp是发动机的比冲。

初始条件

h(t₀)=h₀,v(t₀)=v₀,m(t₀)=M+F(3⁃2)

终端条件

h(t_f)=0,v(t_f)=0(3⁃3)

容许控制

0≤u(t)≤α(3⁃4)

控制的目的是使燃料消耗量最小,即着陆器在着陆时的质量保持最大,即式(3⁃5)为最大。

J(u)=m(t_f)(3⁃5)

由这个例子可见,求解最优控制问题时要给定系统的状态方程、状态变量所满足的初始条件和终端条件、性能指标的形式以及控制作用的容许范围等。

用数学语言来详细地表达最优控制问题所包含的内容如下。

(1)建立被控系统的状态方程

=f[X(t),U(t),t](3⁃6)

式中,X(t)为n维状态向量,U(t)为m维控制向量,f[X(t),U(t),t]为n维向量函数,它可以是非线性时变向量函数,也可以是线性定常的向量函数。状态方程必须精确已知。

(2)确定状态方程的边界条件

一个动态过程对应于n维状态空间中从一个状态到另一个状态的转移,也就是状态空间中的一条轨迹。在最优控制中初态通常是已知的,即

X(t₀)=X₀(3⁃7)

而到达终端的时刻t_f和状态X(t_f)则因问题而异。在有些问题中t_f是固定的,有些问题中t_f是自由的;而终端状态X(t_f)一般属于一个目标集S,即

X(t_f)∈S(3⁃8)

当终端状态固定时,即X(t_f)=X_f,则目标集退化为n维状态空间中的一个点。而当终端状态满足有些约束条件,即

G[X(t_f),t_f]=0(3⁃9)

这时X(t_f)处在n维状态空间中某个超曲面上。若终态不受约束,则目标集便扩展到整个n维空间,或称终端状态自由。

(3)选定性能指标J

性能指标一般有下面的形式:

(3⁃10)

上述性能指标包括两个部分,即积分指标和终端指标Φ[X(t_f),t_f],这种综合性能指标所对应的最优控制问题称为波尔扎(Bolza)问题。当只有终端指标时,称为迈耶尔(Mayer)问题;当只有积分指标时,称为拉格朗日(Lagrange)问题。性能指标J是控制作用U(t)的函数,所以J又称为性能泛函,也有文献中将其称为代价函数、目标函数等。

(4)确定控制作用的容许范围

U(t)∈Ω(3⁃11)

Ω是m维控制空间Rm中的一个集合。如果控制量是有界的,例如例3⁃1中的发动机推力,则控制作用属于一个闭集。当U(t)不受任何限制时,它属于一个开集。这两类问题的处理方法不同。Ω可称为容许集合,属于Ω的控制称为容许控制。

(5)按一定的方法计算出容许控制

将计算出的容许控制U(t)[U(t)∈Ω]施加于用状态方程描述的系统,使状态从初态X₀转移到目标集S中某一个终态X_f,并使性能指标达到最大或最小,即达到某种意义下的最优。