7.3.1 函数项级数

给定一个定义在某区间I上的函数列

u1（x）, u2（x）, …, un（x）, …，

则表达式

u1（x）＋u2（x）＋…＋un（x）＋…

叫作函数项无穷级数，简称函数项级数，记作.即

其中第n项un（x）叫作函数项级数的通项或一般项.

对于每一个确定的x0∈I，就相应地有一个常数项级数，

因此函数项级数式（7.9）是常数项级数的推广，常数项级数是函数项级数的特例.函数项级数理论与常数项级数不同，它不仅要讨论每个形如式（7.10）的常数项级数的敛散性，更重要的是，还要研究由于x的变动而得到的许许多多常数项级数之间的关系.

函数项级数可能对某些x是收敛的，而对另一些x则是发散的.例如级数

对于每一个固定的x，它是一个几何级数，公比为x，则当|x|＜1时，级数收敛；当|x|≥1时，级数发散.

如果在定义域I上取定x=x0，使得常数项级数收敛，那么称点x0为函数项级数 的收敛点；否则称为函数项级数 的发散点.函数项级数 的所有收敛点组成的集合，即能使函数项级数收敛的x的全体，称为函数项级数的收敛域；所有发散点组成的集合称为发散域.

对于收敛域内的任意一个实数x，函数项级数就变成了一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和s，并与x对应.这样在函数项级数收敛域上，就确定了函数项级数的和是一个关于x的函数s（x），通常称此函数s（x）为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是该级数的收敛域，即

函数项级数式（7.9）的前n项的部分和记为sn（x），则在收敛域上有

记rn（x）= s（x）－sn（x）, rn（x）称为函数项级数的余项（当然，只有 x在收敛域上，rn（x）才有意义），并且在收敛域上.

例7.19 求级数的收敛域.

解 由比值审敛法可知

（1）当时，|1＋x|＞1，即x＞0或x＜－2时，原级数绝对收敛.

（2）当时，|1＋x|＜1，即－2＜x＜0时，原级数发散.

（3）当时，x=0或x=－2．当x=0时，原级数为，该级数收敛；当x=－2时，原级数为，该级数发散.

故原级数的收敛域为（－∞,－2）∪[0,＋∞）.

对于一般的函数项级数，它的收敛性讨论起来十分复杂.下面我们讨论一类较为简单而应用上又比较方便的函数项级数——幂级数.