1.2.3　量子测量

对量子态进行测量会导致坍缩，即测量会影响原来的量子态，因此量子态的全部信息不可能通过一次测量得到。下面给出测量的通用计算表达式。

假设：量子测量由测量算符（Measurement Operator）的集合来描述，这些算符可以作用在待测量系统的状态空间（State Space）中； 指标（Index）表示实验中可能发生的结果。 如果测量前的量子系统处在最新状态，那么测量结果发生的概率为

(1.31)

并且测量后的系统状态转变为

(1.32)

由于所有可能情况的概率和为1，即

(1.33)

所以测量算符需满足。该方程被称为完备性方程（Completeness Equation）。

量子测量有多种方式，如投影测量（Projective Measurement）、正算符值测量（Positive Operator-Valued Measure）。投影测量要求测量算符为投影算符，且满足。正算符值测量并非全新的概念：对于任意的测量算符，记，可以看出 是正定的，且是完备的，则是正算符值测量。可以说，投影测量与正算符值测量是一般测量的特例。 当测量算符具有酉矩阵时，投影测量和一般测量等价。

下面介绍投影测量。 投影测量由一个可观测量（Observable）来描述，可观测量是一个待观测系统的状态空间上的自伴算符。 对可观测量进行谱分解：

(1.34)

设是在特征值对应的特征空间上的投影。 在对状态进行测量之后，得到结果的概率为

(1.35)

测量后，若结果发生，则量子系统的最新状态为

(1.36)

投影测量的一个重要特征就是平均值及标准偏差很容易计算：

(1.37)

(1.38)

例1.1　单量子比特在计算基下有两个测量算符，即、。这两个测量算符均是自伴的，即满足、，且、，因此。因此，该测量算符满足完备性方程。

若对式(1.1)的量子态进行测量，测量结果为0的概率为

(1.39)

相应地，测量后的状态为

(1.40)

同理可得，以概率处于，对应测量后的状态为。

例1.2　若可观测量是，现对待观测量进行投影测量。首先，对进行谱分解，得到，其中、、、。然后，对状态进行测量，可知概率为、。

测量后，若结果1发生，则量子系统的最新状态为

(1.41)

若结果2发生，则量子系统的最新状态为

(1.42)