§6　曲线积分与路径无关的条件

在怎样的条件下曲线积分与路径无关（只与起点和终点有关）？这样的问题对于理论研究和实际应用都有十分重要的意义.例如，在物理学中，功与路径无关意味着力场是有势场.这样的场值得特别关注.

6.a平面单连通区域情形

设G是R2中的一个区域，函数P（x,y）和Q（x,y）在G中连续可微.又设M0和M1是G中任意给定的两点，联结G中两点M0和M1的路径γ当然不止一条.如果对于G中从M0到M1的任意分段连续可微曲线γ，积分

都取同样的值，那么我们就说曲线积分（6.1）与路径无关.

曲线积分与路径无关的某些讨论，涉及到区域G本身的性质.

定义　设G是R2中的一个区域.如果G中任何简单闭曲线所围成的有界区域，总是整个包含在G中，那么我们就说G是单连通的（否则我们就说G是多连通的）

用直观的语言来描述，平面上的单连通区域就是没有洞的区域.在图16-14中，画阴影的区域（a），（b），（c），（d）都是单连通的，而（e），（f），（g），（h）则是多连通的.

定理1　设G是R2中的单连通区域，函数P（x,y）和Q（x,y）在G上连续可微，则以下各条件相互等价：

（1）对于G中任何分段连续可微的闭曲线C都有

（2）对于G中从M0点到M1点的任意两条分段连续可微曲线γ和η都有

（3）存在函数U（x,y），这函数在G上连续可微，并且使得

（这样的函数U被称为微分式Pdx+Qdx在G中的一个原函数）；

（4）在G中有

证明　我们按以下程序证明定理中所列出的各条件相互等价：

首先证明“”.设M0和M1是G中任意两点，γ和η是G

中从M0到M1的任意两条分段连续可微的曲线.我们来考查这样的一条闭路径C：先沿着γ的正向从M0到M1，再沿着η的负向从M1回到M0.根据条件（1），对于闭路径C应有

这就是

其次证明“”.对于G中从M0到M的任意一条（分段连续可微的）路径γ，曲线积分

都取同样的值.这样的积分只依赖于路径的起点M0和终点M，而与中间的路径无关.我们可以把它记为

下面，我们固定M0（x0，y0），而让M（x,y）在G中变动，这样定义了一个函数

将证明U（x,y）就是微分式Pdx+Qdy的一个原函数.为此，我们来考查U在G中任意一点M1（x1，y1）处的偏导数.因为

只要h充分小，从点M1（x1，y1）到点M（x1+h,y1）的直线段就全含在区域G之中，我们可以沿这直线段计算上面最后一个积分（参看图16-15）.这样得到

在上式中让h→0取极限就得到

同样可得

我们证明了U在G中有连续偏导数

因而U是微分式Pdx+Qdy的一个原函数.顺便指出，微分式Pdx+Qdy的任何一个原函数都可以表示为

这里A是任意常数.

再来证明“（3）→（4）”.设是微分式Pdx+Qdy的一个原函数，则有

因为P和Q都是连续可微的，所以是二阶连续可微的，因而U的两个二阶混合偏导数相等：

最后证明我们分几种情形讨论.

情形1　设C是G中的一条分段连续可微的简单闭曲线.我们把由C所围成的闭区域记为D.则由格林公式可得

情形2　设C是G中的一条只有有限个自交点的分段连续可微闭曲线，对这情形，可以把C分成有限个简单闭曲线

（图16-16中圆出了m=3的情形）.

于是

情形3　曲线C有无穷多个自交点.对这情形，我们可以用封闭折线A去逼近曲线C，并可要求A只有有穷多个自交点.于是

取一序列这样的闭折线An趋近于曲线C，通过极限过程就得到

于是，对于G是平面单连通区域的情形，如果需要判断积分

是否与路径无关，或者需要判断微分式

在G上是否恰好为某个函数的全微分（即是否所谓的“恰当形式”），那么最方便的办法就是去检验是否有

6.b平面多连通区域情形

对于平面多连通区域G，上段定理1中的（1），（2）和（3）这三项仍然互相等价，但第（4）项不与前三项等价.对这情形，（1）与（2）的等价性同样很容易证明（请参看定理1证明中“（1）→（2）”那一部分）.我们把（2）与（3）的等价性陈述为以下的定理.

定理2　设G是R2中的区域，函数P（x,y）和Q（x,y）在G连续，则以下两陈述相互等价：

（a）第二型曲线积分

在G中与路径无关；

（b）微分式Pdx+Qdy在G中具有原函数

证明　在上面定理1的证明中，这一步推理并未

用到区域的单连通性质.本定理的这一部分，实际上已

在那里证明了.下面，我们来证明

考查G中从点M0到点M1的任意一条分段连续可微曲线：

复合函数U（x（t），y（t））也是分段连续可微的.在这函数连续可微处，我们有

于是

这说明曲线积分∫Pdx+Qdy在G中与路径无关.□

例1　区域不是单连通的.在这区域上，考查函数

虽然有

但曲线积分

仍与路径有关.——我们在ξ3例5中已经看到，沿绕原点的任何分段连续可微的简单闭曲线Γ，都有

6.c原函数的计算

设G是R2中的一个区域，函数P（x,y）和Q（x,y）在G上连续.如果曲线积分

在G中与路径无关，那么微分式

就是一个恰当形式，它的原函数可按下式计算

考查点M0（x0，y0），M'（x,y0），M″（x0，y）和M（x,y）（参看图16-17）.

如果区域G包含了折线M0M′M，那么我们可以沿这折线计算积分（6.2），这样得到

在上面最后的表示式中，所有的积分都已化成了寻常的定积分.

如果区域G包含了折线M0M′M，那么我们可以按以下方式把（6.2）化为定积分计算：

6.d涉及空间区域的讨论

在空间区域G中讨论曲线积分

与路径无关的条件，基本结论与平面区域的情形十分相似.但就空间区域而言，单连通性的定义陈述起来稍费口舌.我们先从较一般的情形（不一定单连通的情形）开始讨论.

定理3　设G是R3中的区域，函数P（x,y,z），Q（x,y,z）和R（x,y,z）在G连续，则以下两陈述互相等价：

（a）第二型曲线积分

在G中与路径无关；

（b）微分式Pdx+Qdy+Rdz在G中有原函数U（x,y,z），即

定理3　的证明与定理2的证明几乎完全一样，这里就不再重复了（请读者自己练习）.

例2　在力学或电学中，常常需要考查与距离平方成反比的中心力场（例如万有引力场或电场）.这样的力场可以表示为

这里

设有单位质量的质点或单位电量的点电荷沿路径Γ移动，则力场F对它所做的功可以表示为以下的第二型曲线积分

因为微分式

有原函数

所以在这样的力场中，功与路径无关.

对于一类比较简单的区域——星形区域，曲线积分与路径无关的条件很容易讨论.下面，先介绍R3中星形区域的定义.

定义　设D是R3中的一个区域.若存在D中一点A，使得对于任何M∈D，直线段均完全包含在D中，则称D是关于

A点为星形的区域，简称星形区域.

定理4　设D是3中的星形区域，函数P（x,y，z），Q（x,y，z）和R（x,y，z）在D中连续可微，则以下三项陈述相互等价：

（1）第二型曲线积分

在D中与路径无关；

（2）微分式Pdx+Qdy+Rdz在区域D中有原函数U（x,yz），即

（3）在D中有

证明　定理3已经对更一般的情形肯定了（1）与（2）的等价性.这里只需对星形区域的情形证明（2）与（3）等价.推理“（2）→（3）”也不用星形区域的条件，因而这部分结论对一般区域也能适用.

设函数U（x,y，z）在D中连续可微，并且使得

也就是

因为P,Q和R是连续可微的，所以U是二阶连续可微的.因而有

这就是

同样可证

下面证明设D是关于A点为星形的区域.对于D中的任意点M（x,y，z），我们定义

将证明U（x,y，z）=U（M）是微分式

的一个原函数.为此，我们考查D中的点M0（x0，y0，z0）和M（x0，h,y0，z0）.因为D是区域，M0的某个邻域包含在D中，所以对充分小的h，线段包含在D中.又由于D关于A点的星形性质，三角形面△AMM0应完全包含在D中（图16-18）.利用斯托克斯公式计算沿△AM0M周界的曲线积分得到

由此可得

也就是

由此容易得知

因为（x0，y0，z0）可以是D中任意一点，我们已经证明了

同样可证

这样，我们证明了，U（x,y，z）是微分式Pdx+Qdy+Rdz的一个原函数.□

下面就空间区域情形介绍单连通的概念.为了叙述方便，我们尽可能将参数曲线的定义区间“标准化”，即尽可能将区域G中的参数曲线表示成这样的映射

其中的I=[0，1]是标准区间.显然定义于任意区间J上的参数曲线都可以通过参数的适当线性变换化成上述形式.

定义　设G是R3中的一个区域.

（i）如果A和B是G中的点，

是一个连续映射，满足条件

那么我们就说γ是G中联结A和B的一条（连续）曲线.对于B=A也就是

的情形，我们说γ是一条闭曲线.

（ⅱ）若（i）中的映射γ：I→G是连续可微的，则称γ为连续可微曲线.

（ⅲ）若（i）中的映射γ：I→G是分段连续可微的，则称γ为分段连续可微曲线.

注记　所谓映射γ：I→G“分段连续可微”是指：

（a）映射γ本身是连续的

（b）存在区间I=[0，1]的一个分割

使得γ在（t0，t1）∪（t1，t2）∪……∪（tn-1，tn）是连续可微的，在t0右侧可微，在tn左侧可微，并且在t1，t2，……，tn-1各处既是左侧可微的又是右侧可微的.

我们还约定把分段连续可微曲线γ上连续可微性质遭到破坏的点γ（t1），γ（t2），……，γ（tn-1）叫做这曲线的例外点.

定义　设G是R3中的一个区域，γ是G中一条连续可微的闭曲线，

如果存在连续可微映射

满足这样的条件

那么我们就说连续可微曲线γ在区域G中是零伦的.

注记　我们可以把上面定义中的H看成是依赖于参数s∈I的一族闭曲线

当参数s从0变到1时，闭曲线γ就逐渐缩成点A.因此，“零伦”的几何直观意义就是：闭曲线γ可以在G中缩成一个点（图16-19）.

定义　设G是R3中的一个区域.如果G中任何一条连续可微的闭曲线在这区域中都是零伦的，那么我们就说G是单连通的.

例3　（a）开球体是单连通的.（b）开球体内部抠了一个球形小空洞之后，剩下的部分仍然是单连通的.（c）开球体上打了一个贯通的圆柱形孔洞之后，剩下的像一粒穿了孔的珠子那样的区域就不再是单连通的了.

下面的定理讨论空间单连通区域里第二型曲线积分与路径无关的条件.

定理5　设G是中的单连通区域，P（x,y，z），Q（x,y，z）和R（x,yz）是在G中连续可微的函数，则以下四项陈述相互等价：

（1）沿G中任何一条分段连续可微的闭曲线γ都有

（2）沿G中任何两条有共同起点和共同终点的分段连续可微曲线η和ξ有

即曲线积分

在G中与路径无关；

（3）微分式Pdx+Qdy+Rdz在G中有原函数，即存在定义于G上的连续可微函数U（x,y，z），使得

（4）在G中有

我们将省略一些细节，概要地介绍这定理的证明.

证明　的梗概仿照前面的讨论，很容易证明（这部分论证不用区域的单连通性质）.剩下来的较为困难的任务是对单连通区域的情形证明

首先指出，为了证明只须在条件（4）的前提下，证明对于G中任何一条连续可微的闭曲线7都有

对此，我们作如下的论证：如果G中的闭曲线γ0仅仅是分段连续可微的，M是γ0。上的一个例外点（即连续可微性质遭到破坏的点），那么可以在M点两侧的曲线上分别选择对应于邻近参数值，t′和t的点M′和M〃，然后设法用一段连续可微曲线代替γ0

的一段要求换上的一段在点M′和M〃点外的衔接是连续可微的（具体做法在本段末的注记中予以说明）.用这样的办法依次消去所有的例外点之后，就得到一条连续可微的闭曲线所作的修改可以很细小，使得修改后的一段与原来的那一段都在M点的一个包含于G内的ε球形邻域之中.球形邻域当然是星形的，根据定理4就有

我们看到：分段连续可微的闭曲线γ0可以修改成一条连续可微的闭曲线γ，使得

如果能证明上式右边的积分等于0，左边的积分自然也就等于0.

下面，我们就在条件（4）的前提下，证明沿G中的任何连续可微的闭曲线γ都有

设γ（0）=γ（1）=A.因为区域G是单连通的，所以存在连续可微映射

使得

将H的像集记为

显然K是完全包含在G中的一个紧致集.于是，存在ε＞0，使得到K的距离不超过e的点全在G中，即

因为H在I×I上是一致连续的，所以存在δ＞0，使得只要（s, t），

就有

我们取足够大的自然数n，使得

用分界线

将正方形I×I剖分成n×n个小方块

我们还引入记号

自然有

每个小方块Ⅱjk的像集H（Ⅱjk）都包含在点Mjk的ε球形邻域之中.这些ε球形邻域都是包含在G内的星形区域.根据定理4，在每一个这样的ε球内部曲线积分

与路径无关.我们可以逐次对路径γ作细小的改变，使得每次变动均局限在一个ε球之中以保证积分值不改变.最后将路径缩到A点的ε球形邻域之中，从而证明积分值等于0.具体做法略述如下：

第一步，将沿路径

的积分转换成沿路径

的积分，这里的A M11 M01是H（B dⅡ11）的一部分（参看图16-20）.

第二步，再将沿路径AM11M01M02……M0，n-1A的积分转换成沿路径

的积分（M01M11M12M02这一段是H（BdⅡ12）的一部分）.这后一积分沿曲线段M11M01 和M01M11的部分互相抵消，所以能转化成沿着路径

的积分.这样逐次做下去，可以将原来沿闭曲线γ的积分化成沿闭曲线

的积分，然后再转化成沿闭曲线

的积分，……最后转化成沿闭曲线

的积分.整个转化过程可以简略地写成如下的一组等式一一所有积分的被积表示式都是

为书写简便起见而省略了.

因为闭曲线γn-1=AMn-1，1Mn-1，2……Mn-1.n-1上各点离A点的距离都小于ε，即γn-1完全包含在A点的ε球形邻域之中，所以根据定理4应有

这样，我们证明了

定理5　的证明到此完成.□

注记　上面证明开始时所述的局部修改，可以通过多项式插值的办法作出.设待修改的分段连续曲线是

为叙述省事起见，不妨设曲线γ0只有一个例外点m.在这例外点两侧邻近的曲线上各取一点M′和M〃（分别对应于参数t′和t″）.我们作待定系数的三次多项式

要求它满足条件

上面的条件可以看成关于未知数λ，μ，ν，ρ的线性方程组，该方程组的系数行列式等于（t′-t″）4＞0.解这方程组就可以定出λ，μ，ν，ρ从而定出来.用类似的办法可以相应地确定ψ（t）和ω（t）.这样作出的修改曲线

就能满足我们的要求.

6.e用外微分术语陈述条件

设ω是一个ρ次微分形式.如果

那么我们就说ω是一个闭形式；如果存在一个ρ-1次微分形式θ，使得

那么我们就说ω是一个恰当形式.

因为d（dθ）=0，所以任何一个恰当形式都是闭形式.

采用外微分的术语，曲线积分与路径无关的条件可陈述如下：

定理6　设G是中的一个区域是在G上连续

可微的一个1次微分形式，则以下两条件相互等价：

（a）积分∫ω在G中与路径无关；

（b）在G中，ω是恰当形式.

如果G是一个单连通区域，那么上面的条件（a）和（b）还与以下的条件（c）等价：

（C）在G中，ω是闭形式.

读者不难通过术语的相互翻译认出这定理只不过是前面几段所得结论的另一种陈述方式.