5 从芝诺悖论谈起：无穷的概念

位于今日意大利的萨勒莫省的埃里亚市是两位著名哲学家的故乡，他们的生命跨越了毕达哥拉斯和苏格拉底的年代。这两位哲学家中年纪较长的一位是巴门尼德，他的出名之处在于他相信，世间万物是不动的“一”，而我们所感知到的世界与实际世界并不相同。这一观点深远地影响了柏拉图的哲学。

令巴门尼德的学生芝诺成名的信念无过于一种亚里士多德称之为诡辩术的辩论方式。使用这种辩论方法时，你攻击你的对手的论点，而不是为你自己的论点辩护。辩论中芝诺会先以他对手的论点为前提，然后试图用逻辑方法证明这一前提会导致荒谬的结果。他的观点通常被人称为“悖论”，因为这些观点似乎不符合人们通常的观念。例如，假设你认为从A点去B点是可能的。芝诺会与你辩论，说在到达B点之前你必须先完成这段路程的一半，在能完成半程之前你必须完成半程的半程，即全程的四分之一，以此类推。换言之，在你开始在A与B之间进行最小的一部分旅途之前，你都必须完成数目无穷的运动！芝诺说：很显然这是荒谬的；因此，你不可能从A去B。

第二个悖论被称为阿喀琉斯与龟。芝诺说：如果你相信运动，那你就一定相信，神速的阿喀琉斯能够追上前面的一只速度极慢的乌龟。但他争辩道：如果阿喀琉斯跑到了现在乌龟所在的地方，这段时间里乌龟就会又向前走了几步。如果阿喀琉斯又跑到了那个地方，乌龟就又会再往前挪一挪……以此类推。同样的，阿喀琉斯必须在有限的时间之内完成数目无穷的任务，而这显然是荒谬的——至少在芝诺的眼睛里面如此。

对当代数学家来说，芝诺的悖论没什么害处。实际上，它们相当深刻地描述了连续运动究竟是怎么回事。不妨让我们假定，阿喀琉斯的速度是乌龟的两倍，而开始时乌龟在阿喀琉斯前面一码的地方。1秒钟后阿喀琉斯走过了1码，乌龟走过了码（这只乌龟可真快！）。（1+）秒之后，阿喀琉斯走过了（1+）码，乌龟走过了（+）码。这样的步骤进行了n次之后，阿喀琉斯和乌龟会在哪里？这会是在多长时间之后？对所有这些步骤加和之后可知，过去的时间刚刚比2秒钟少一点点。实际上我们可以用以下算式表示：

秒，或可更简单地表示为秒

阿喀琉斯走过的路程刚好小于2码，准确地说是码

乌龟走过的路程只有以上路程的二分之一，即码。

但乌龟在开始时就领先了1码，我们把这1码添到它走过的路程上，于是它的位置就在阿喀琉斯起点处前面码。因为，所以乌龟走过的路程比阿喀琉斯走过的路程更接近2码。因此，如果芝诺断言，在秒之后阿喀琉斯仍旧落后于乌龟，他是对的。

于是我们就知道了阿喀琉斯和乌龟在两秒钟前一丁点儿时间时各自在哪里，还有他们在那之后一丁点儿一丁点儿时间在哪里，以及他们在此之后一丁点儿一丁点儿一丁点儿时间又在哪里……但却没有任何人——哪怕是芝诺也罢——能让时间静止。秒表终究会达到2秒。那时候的阿喀琉斯和乌龟又会在哪里？回答是，他们会在他们越来越接近的那个地点：距离阿喀琉斯的出发点2码的地方。现代数学家把这种情况称为当n逼近无穷时，对数值“取极限”。这时与都逼近了零，因此不出现在极限中。2秒钟时阿喀琉斯走过了2码，乌龟走过了1码；阿喀琉斯追上了乌龟。

芝诺在什么地方搞错了呢？首先，他开始把这一问题数学化了，但他的数学方法并不完整：有一项重要信息他没有包括进去，就是在此过程中流逝的时间。其次，而且更重要的是，他和其他古代希腊人都还对无穷大这一概念很没有把握，这让他们无法取极限。就是说，他们无法从有限加和：

发展到无限加和：

但他们还是很下功夫的！而且他们差点儿就成功了！如果你读了阿基米德在芝诺之后两个世纪写的《抛物线图形求积法》，你就会明白，成功就在他们眼前，几乎触手可及。

这份文件是阿基米德为他们共同的朋友，一个名叫科浓的人的去世而写给与他同为数学家的多西修斯的一封信。阿基米德在这封信中写道：“当我不但为失去一个朋友，而且为失去一个值得赞美的数学家而悲痛之际，我为自己制定了与你交流这一任务，因为我本来是打算为科浓寄去一项几何定理的；这项定理过去一直无人问津，而现在刚刚由我进行了研究。我最先是通过力学发现这一定理的，后来又通过几何学给出了证据。较早时候确曾有一些几何学家试图证明有可能找到面积等于已知圆面积的正方形……但我不知道，在我之前是否有任何人试图找到一个正方形，使其面积等于由一条直线和直角圆锥的一个截面（即一个抛物线）围成的弓形的面积。”下面他继续说道，他已经证明了，任何这样一个区域的面积等于一个内接三角形面积的倍，该三角形的高等于抛物线区域的高。

诸如这样的引文让我们得以洞悉阿基米德的特质——他是又一位数学痴才。为安慰科浓的朋友，他能够找到的最佳方式是给他寄去一份新的数学定理的证明！同时请注意他提到的化圆为方问题——这是阿基米德曾经涉猎过的课题。阿基米德无法化圆为方，但他却能化另外一个曲线形为“方”（其实是直线形），虽说这远远说不上一项显著的成果。而最后，请注意，他在通过力学“发现”定理和通过几何学给出证据（或者说证明）之间划出了令人新奇的界限。

结果证明，阿基米德使用了最初用于估算圆面积的方法来对付抛物线，但这次的效果要好得多，而且他也不需要进行任何近似估算：阿基米德说，抛物线围成的面积正好等于内接三角形的倍。为证明这一点，他把三角形T的两条边向外凸出，构成了一个更为接近抛物线的四条边。然后他又把这四条边向外推，构成了一个八边形，余类推。他证明，在每一个步骤中，他在原有多边形上加入的面积都是前一步骤中加入面积的四分之一。因此，如果我们令第一个三角形的面积为1，则四边形的面积即为1+，八边形的面积为1++。继续这一过程，在n步之后，他便得到了一个抛物线形的极好近似，其整个面积为：

这与我们分析芝诺悖论时见到的和式极为相像，唯一的差别是，这里用的是4的乘方而不是2的乘方。下一步，阿基米德证明，这一有限和式加上最后一项的后恒等于：

我们大概还记得，古希腊人对数值证明不很有把握，因此阿基米德必须用下述几何方法对此加以证明。假设图中L形区域A的面积为1，则图中包括A的大正方形面积即为，因为这一大正方形由四个相等的部分组成，区域A中仅含其中之三。人们可以在图形的右下角逐步加上L形区域的收缩序列并最后填以一个剩余的小正方形（即区域D）逐步填充（或称“穷尽”）整个大正方形。所有区域的总面积即为以上方程的左端，因此方程左右两端相等。

这是多么奇妙的一个证明啊！但请注意，阿基米德在完成了第n步之后停了下来；他没有让这一过程“直至无穷”。一个现代数学家会毫无疑惧地采取这一步骤。正如一系列L形图形会“穷尽”正方形一样，一系列三角形会“穷尽”抛物线形。当n逼近无穷时取极限，我们就可以得到结论：抛物线形的面积等于正方形的面积，即我们已经证明了的。换言之，我们会使用无穷和式：

为纪念这一和式的几何来源，人们将该和式命名为几何级数，这是十分适宜的。几何级数的各项按某一常数比逐项递减。在芝诺悖论的例子中这一常数为；在阿基米德的例子中这一常数是。或许你已经猜到了，这一级数的一般规则是：

遗憾的是，阿基米德时代的数学不会允许他走完这最后一步。这让他不得不求助于巧妙的归谬法辩论。正如芝诺会做的那样，他与一个想象中的对手争论。你认为抛物线形的面积不等于吗？好吧，那你就必须告诉他，它的面积是大于还是小于。如果你认为大于，阿基米德就会用他的剖分法证明你高估了这一面积。如果你认为小于，他就会证明你低估了这一面积。无论你怎么说都没道理，因此你必须承认这一面积等于。

事后回顾，我们能够看到，在经过漫长的道路之后，阿基米德正走向对无穷过程的理解。他正在运用无穷大这一武器来发现新的真理，这是一次大跃进，这次跃进让古希腊数学家走到了掌握无穷大概念的边缘。