4 圆的游戏：π的发现

除了计算直角三角形的斜边之外，另外两个几何难题似乎也不可避免地出现于任何计算文明之中：计算圆的周长与面积。在当代理念中，两个密切联系的公式给出了问题的答案：C=2πr、A=πr2。这里A代表半径为r的圆的面积，而π（读作“pài”）就是数学中最为著名的常数，其值为3.1415926535……

现代公式往往模糊了有关π的第一个奇妙事实：事实上，出现在这两个公式之中的是同一个常数。这种模糊是因为公式过分明显而造成的。为了理解古代数学家必须解决的问题，我们应该想象存在着一个数字“圆周-π”，其定义为圆的周长与其直径之比；以及另一个数字“面积-π”，其定义为圆的面积与其半径平方之比。在想象中，我们并不知道这两个数字是否相等。

毫不奇怪的是，认为这两个问题之间有联系的第一个完全清晰的陈述出自古希腊数学。公元前3世纪，阿基米德在他题为《圆的测量》的手稿中写道：

命题1. 任何圆的面积等于一个直角三角形的面积，该直角三角形的一条直角边等于圆的半径，另一条直角边等于圆的周长。

让我们在想象中把这个圆切割成许多楔形，每一个都与三角形毫无二致，于是它的面积就是底与高之积的一半（可参见下图）。每一个楔形的高都是圆的半径，而所有这些底之和就约等于圆的周长。于是所有这些楔形的面积就约等于半径与周长的乘积的一半，也就约等于圆的面积。阿基米德的论点的困难之处就是如何把近似的等式变为准确的等式。一旦完成了这一工作，证明“周长-π”与“面积-π”是同一个数字就不算困难了。

阿基米德的命题1一直在他的命题3面前黯然失色。他在命题3中证明了π的值在3与3之间。但实际上正是命题1让π的概念怀胎成形。没有这一命题，我们就要面对两个不同的难题：如何计算圆的面积，以及如何计算圆的周长。有了这一命题，我们就能够将两大难题合二为一：如何计算数值π的近似值。命题3只不过是这一大课题中的一件独具匠心的杰作而已。

与毕达哥拉斯定理的情况一样，就算中国古代数学家落后于他们的希腊同行，其中差距也不大。成书可能早于阿基米德的年代的《九章算术》就已经提到了如下问题：“设有一圆形土地，其周长为181步，其直径为60步。试求其面积……解法：取周长之半乘以半径，即得圆之面积，以（平方）步记之。”以上第三句（“解法”）与阿基米德的命题1如出一辙。有趣的是，从引文第一句可以看出，该书的匿名作者认为π=3，这是一个非常原始的近似值。

但3世纪的《九章算术》点评人刘徽有其他的想法。首先他指出，书中说正六边形的周长直径之比为3，但人们肉眼即可看出，圆的周长大于正六边形的周长。因此基于π=3的古老方法不会是正确的。“圆与正多边形之间的差别正如弓与弦之间的差别，这两者永远不会重合，”刘徽这样写道，“然而这样一个惯例却代代相传，谁也没有花心思加以检查。”

刘徽把π称为“圆周率”。为了对它进行更为准确的计算，刘徽把正六边形的每一个边从中点向外扩展至外接圆，画出了一个12条边的正多边形并计算了它的周长。随后他重复这一过程，又得到了正24边形、正48边形和正96边形的周长。他也对圆的外切正12边形、外切正24边形等进行了同样的处理。通过这种方法他证明了：

这一结果与阿基米德的估算值吻合得非常好：

阿基米德完全用同样的方法得出了他的估算值：从正六边形开始，然后逐一加倍边数，直到正96边形！这样两个伟大的天才，尽管他们天各一方、时隔数百年，但却有完全相同的想法，这是多么令人吃惊的事实啊！他们的答案存在着细微的差别，其唯一原因是刘徽在计算过程中进行了更为仔细的近似处理。（在第一步骤之后，周长涉及平方根，必须用有理数对此进行近似处理。）

但刘徽并没有像阿基米德一样就此止步！他补充道：这一过程可以一直继续进行到正3072边形。他略去了计算过程，但为我们写下了结果：

他得到了π的四位准确数字！或许是刘徽，在人类历史上第一个发现了我们现在使用的π的标准近似值。

有趣的是，刘徽以这种精确度算出了π值，但他在对《九章算术》其他问题的所有注释中用的都是较为简单的圆周率近似值：π≈3.14。这种不一致现象指出了刘徽本人心理上一个非常有趣的特点。他一定已经意识到，对于任何实用性问题，更为准确的近似值并没有什么可以想象得到的益处。除非你有一台激光干涉仪（这东西当时不存在），否则你测量土地直径的精度无法达到四位小数，因此使用如此精度的圆周率毫无意义。

但无论如何，他还是算到了四位小数！他并不需要这样做，他只不过是要满足自己的好奇心。他只不过是千百年来许多数学痴才（或许可以更特别地说成π痴才）中的第一个，他们几乎把对π的计算推动到了深不可测的地步。在计算机时代开始之前，威廉姆·尚克斯计算了π的707位数值；虽说他在计算第527位时犯了个悲剧性的错误，结果后面的数位就全错了。现在，随着计算机的来临，π的位数的最高纪录已经突破了1万亿位大关。

要把神秘莫测的π研究到这种深度，人们需要的远不止阿基米德与刘徽所使用的那种相对笨拙的几何方法。大约在1500年，喀拉拉学派的一位佚名印度数学家（可能是尼拉坎塔·索马亚基或者他的前辈玛达瓦）发现了如下优美公式：

现在人们以其最早的欧洲发现者命名，称之为格里高利-莱布尼茨公式。寻求这类用简单分数的无穷加和计算π的方法在艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨于17世纪末发明了微积分之后变得容易多了。我个人特别喜欢的一个令人惊叹的公式如下，是由莱昂哈德·欧拉在1734年证明的：

用符号π表示“圆周率”的方法也是大约这个时候（1706）由威廉姆·琼斯首倡，由欧拉推广的。

我们不妨花点时间仔细思索一下这些公式的优美。这些公式说明π并不仅仅是一个几何概念。三条浩瀚的数学支流在这些公式中汇聚：几何（数字π）、算术（奇数序列与平方序列12，22，32，……）以及无穷分析（此例中的无穷加和）。看到这样的公式，阿基米德会目瞪口呆、刘徽会无语凝眸。他们会立即冲进书店，买下一本微积分教程来学习这一精彩绝伦的新艺术。

非但如此，数字π中还隐藏着更深层次的内容。它是一个无理数——尽管古代数学家们与这一事实失之交臂，但他们一定曾对此有所揣测。约翰·兰伯特在1761年证明了π的无理性。一个世纪之后，费迪南德·林德曼在1882年证明了有关π的另一个更为微妙的事实：它是一个超越数，一种加强版的无理数。注2林德曼定理解决了古希腊人提出的下列古代化圆为方问题：是否可能仅仅通过简单的几何操作画出一个正方形，使其面积恰等于一个已知圆？如果这一问题的答案是肯定的，即有方法化圆为方，他们就会更容易地理解π。但遗憾的是，答案是否定的。超越比无法通过尺规作图法画出。

注2无法以任何系数为有理数的多项式方程的解的形式表达一个超越数。例如，√2不是一个超越数，因为它是方程x2＝2的解。

即使在今天，π还有许多不为我们所知的事实，大概还会有等待着我们探索的发现。直至1995年，三位数学家——大卫·贝里、彼得·波温和西蒙·普劳夫还发现了一个有关π的全新公式，它或许有资格跟莱布尼茨和欧拉的公式一样，在同一座数学高峰上青史留名。这是第一个能够自我修正的π的公式，就是说，如果你在计算第527位时犯了错误，你后面的计算依然有效。然而使用这一公式有一个限制条件，就是你必须像计算机所做的那样，把π写成十六进制数字，只有这样，这一自我修正功能才会发挥作用。这一公式对普通的十进位制计数不起作用。所以，如果上帝创造了整数，而且他也创造了π，那或许上帝其实是一台计算机。