3.1 物料做滑行运动时结合质量与当量阻尼的计算

3.1.1 考虑物料非线性作用力时振动机械的振动方程

图3-1中表示了某弹性连杆式直线振动机械（例如振动冷却机、振动输送机和共振筛等）的力学模型。由于振动机体仅沿倾斜方向振动，所以该振动系统为单自由度系统。在机体振动过程中，物料通常只做滑行运动，因此物料对工作机体的作用力只包括惯性力和摩擦力。在垂直于机体的y方向，物料和机体始终保持接触，所以它在整个周期内的加速度等于工作机体在y方向加速度，平行于工作机体方向，物料有时与机体一起运动，此时其运动加速度与机体在x方向的加速度相等；有时又出现对机体的相对滑动，所以，物料将对机体产生摩擦力。十分明显，物料在y方向的作用力，是与加速度一次方成正比的，因而是线性的；在x方向的作用力，存在着区间惯性力与区间摩擦力，所以是非线性的。为了建立振动机械振动的微分方程，必须将y方向的线性作用力与x方向的非线性作用力，转化到振动方向上。因此，该种振动机械的振动方程为

式中 m_p、m_m——工作机体质量（包括弹簧结合质量）与物料质量；

S、、——机体沿振动方向的位移、速度和加速度；

f_s——阻力系数（不包括物料阻尼）；

F_m，，x，t）——x方向物料的非线性作用力；

k、k₀——主振弹簧刚度和连杆弹簧刚度；

、——x方向的速度和加速度，，；

ω——振动圆频率；

t——运动时间。

x方向的非线性作用力，可参考物料正向滑动及反向滑动的速度图写出。由图3-2可见，反向滑动终了至正向滑动开始，以及由正向滑动终了至反向滑动开始，物料与工作面一起运动，因而物料在区间内的惯性力为，称为区间惯性力。由正向滑动开始至正向滑动终了，物料作用于工作面上的力为正向滑动摩擦力，由反向滑动开始至反向滑动终了，物料作用于工作面上的力为反向滑动摩擦力。称这两种摩擦力为区间摩擦力。图3-2表示了区间惯性力的作用区间为及，而摩擦力的作用区间为及。

因而在x方向的非线性作用力可表示为

式中 f——物料对机体的摩擦因数；

、——物料正向滑动开始与终了的相位角（按第2章的方法求出）；

、——物料反向滑动开始与终了的相位角（按第2章的方法求出）。

3.1.2 振动方程的一次近似解及物料的结合系数与阻力系数

为了求出上述非线性方程的解，可以利用谐波平衡法。这里仅求方程的一次近似解，即

其速度与加速度可由式（3-3）导出：

式中 λ——振动质体的振幅；

α——位移落后于激振力的相位差角。

将非线性作用力展为富氏级数的形式，即

式中的富氏系数a₀、a_j、b_j可按式（3-6）求出：

将式（3-2）的F_m，，x，t）及代入式（3-6），仅求一次谐波项的富氏系数a₁和b₁。

积分后得

二次以上谐波一般影响较小，这里不予考虑。

将式（3-5）中的一次谐波力a₁cosωt+b₁sinωt及式（3-3）、式（3-4）的S、和代入方程式（3-1）中，可得

因为

为使式（3-8）恒等，sinωt和cosωt的系数在等号两侧应该相等，即得

由式（3-10）可见，b₁的值会使惯性力的数值增大（或减少），a₁的值会使阻尼力增大。

根据式（3-10），可计算出物料的结合系数K_m为

当量阻尼系数为

其中

因而该振动机械工作机体的振幅与相位差角的一次近似值为

由式（3-13）看出，当物料没有滑动时，即、、、不存在，在整个周期内，物料在x方向的加速度与机体加速度相等。则由式（3-7）求得

代入式（3-11），可得

所以所有物料均参与振动，在计算振动质量时，应是机体质量m_p与物料质量m_m之和。而这时物料的阻力系数。

只有当出现滑动时，才会出现结合系数K_m<1的情况，以及阻力系数f_m大于零的情形。

3.1.3 物料结合系数与阻力系数的计算

例3-1 已知某槽式振动冷却机，振动次数n=330次/min，振幅λ=14.5mm，振动方向角δ=22°，倾角α₀=0，物料与工作面间摩擦因数f₀=f=0.95，摩擦角μ₀=μ=43°40′。求物料的结合系数与当量阻尼系数。

解 1）按照第2章中的方法，可以求出正向滑始角=25°，正向滑止角=227°；反向滑始角=252°，反向滑止角=305°。

2）按照式（3-11），可以求出物料结合系数：

b ₁按式（3-7）计算，即

其中

由此得

3）按照式（3-12），求物料当量阻力系数：

a ₁按式（3-7）计算，即

其中

由此得

物料当量阻力系数按式（3-12）计算，即

假如改变振动机械的振幅λ，惯性力与摩擦力的作用区间均发生改变，物料结合系数与阻力系数也发生改变，表3-1列出当振幅λ=13mm、14.5mm、16mm和17.5mm，而其他运动学参数不变时，惯性力与摩擦力的作用区间、物料结合系数K_m及当量阻力系数f_m的数值。

由表3-1可见，随着振幅增大，物料结合系数K_m减小，而当量阻力系数f_m增大。物料结合系数在0.4～0.7范围内，而阻力系数在（0.25～0.32）m_mω范围内。

3.1.4 物料的非线性作用力引起的高次谐波振动

前面已对物料非线性作用力的一次谐波的力幅a₁、b₁进行了计算。事实上，即使是在数值上不大的非线性作用力，也会出现高次谐波作用力。这些高次谐波作用力，将作为振动机械的激振力而使机体产生高次谐波振动。可以用分析方法或用计算机，直接算出高次谐波力幅a₁和b₁，按照式（3-5），高次谐波激振力可表示为

代入式（3-1），并设式（3-1）的第二次近似解为

式中 εu₁（λ，ωt）——由高次谐波激振力所引起的机体高次谐波振动，ε表示小参数。

再将第二次近似解代入式（3-1）中，便可求出高次谐波的振动位移（在求高次谐波的位移时，阻尼力的影响较小，将不予考虑），即

其中

m=m_p+m_m sin²δ

采用3.1.3中槽式振动冷却机所列举的具体参数的数值，用计算机算出物料非线性作用力的一次、二次和三次谐波力幅a₁、b₁、a₂、b₂和a₃、b₃。一次谐波力幅a₁、b₁与前一节所得数据很接近，而高次谐波激振力可近似地写为

将弹簧刚度k、振动质量m、振动方向角δ、工作频率ω高次谐波激振力代入式（3-14）中，便可求得振动机体的高次谐波位移。