3.2 物料做抛掷运动时结合质量与当量阻尼的计算

3.2.1 考虑物料非线性作用力时振动机械的振动方程

图3-3所示为自同步式直线振动机械（如自同步式振动给物料机、自同步式振动输送机、自同步式振动筛等）的力学模型。

该振动机械可由弹簧悬吊，也可以支撑于弹簧上。物料在该机器上通常做抛掷运动，因此，在建立振动方程时，必须考虑物料的各种非线性作用力，如区间惯性力、冲击力、区间摩擦力等（这里所指的区间是在一个周期内的一定时间间隔）。由于该种机器y方向与x方向具有不同的弹簧刚度k_y和k_x，物料对机体在y方向与x方向具有不同的非线性作用力，因而有不同的振动方程。假设工作机体仅做平移运动而没有对质心的摇摆振动。这时，振动机体的非线性振动方程为

式中 F_m，，y，t）——物料在y方向的非线性作用力。

当装有物料机体的垂直加速度的负值大于重力加速度时，物料将离开工作机体而出现跳动，所以

式中 φ_d、φ_z——物料的起跳角与下落角，即物料开始离开工作机体时和重新落到机体上时的振动相角（可按第2章方法求出）；

、——物料下落时垂直速度与工作机体在此瞬时的垂直分速度；

Δt——下落冲击时间，Δφ=ωΔt，与振动周期相比，此时间很短，可取Δφ→0。

式（3-16）中的物料非线性作用力，当物料抛离时为零，与机体一起运动时为m_m，下落时的瞬时冲击作用力为。这里假设物料下落时对工作机体的碰撞属于非弹性碰撞，而且碰撞时间很短。

物料在x方向的非线性作用力F_m（，，x，t）可由式（3-17）表示：

式（3-17）中的非线性作用力，当物料抛离时为零，与工作机体一起运动时为。正向滑动与反向滑动时分别为），下落冲击的摩擦力为。每一区段的初始时间与终结时间可根据第2章中的方法求出。在摩擦因数很大的情况下，几乎不产生滑动，只有抛掷运动与相对静止。而当摩擦因数较小时，起抛开始前与抛掷运动终了以后均会产生不同程度的滑动。

3.2.2 振动方程的一次近似解及物料的结合系数与阻力系数

设方程的一次近似解为

将非线性作用力按富氏级数展开。利用式（3-6），可求出y方向非线性作用力的一次谐波力富氏系数。因为对大多数振动机械，α_y≈α_x，所以φ_y≈φ_x=φ，这时有：

其中

θ=φ_z-φ_d

在x方向摩擦力很大的情况下，物料下落后x方向的速度即变为机体x方向的速度。这时物料无相对滑动，落下时物料对x方向的冲击作用力，仍然可以按动量冲量原理计算，所以富氏系数为

在x方向的摩擦力较小情况下，物料下落后将沿x方向做一定距离的滑动。一般情况下，物料起抛前有一段正向滑行，落下后也有一段正向滑行，此外，还可能有一段反向滑行。为了进行计算，必须先按第2章的方法求出滑行开始与终了的相位角，这时，富氏系数为

将式（3-19）代入式（3-15），可以求得振动质体在y方向与x方向的振幅及相位差角，即

因而物料的结合系数及阻尼系数为

3.2.3 物料结合系数与阻尼系数的计算结果与试验结果

例3-2 已知某自同步式振动输送机的振动方向角δ₀=30°，ω=105rad/s，振幅λ≈0.45cm，弹簧刚度k_y、k_x<<m_pω²，物料质量m_m可达m_p的0.5倍。计算物料结合系数及当量阻力系数。

解 （1）第一种情况 当摩擦力很大时，物料只有抛掷运动而无滑动，富氏系数a_1y、b_1y及a_1x、b_1x可按式（3-20）和（3-21）计算。

按第2章的公式可计算出物料抛始角为

抛掷指数

可按图2-7查出i_D，φ_z-φ_d=360°×i_D=360°×0.87=313°，抛止角φ_z=313°+23°16′=336°16′

按照式（3-20）、式（3-21），可求出b_1y和b_1x：

求得物料结合系数K_my和K_mx分别为0.29和0.014，而合成结合系数为

按照式（3-20）、式（3-21）可求出a_1y和a_1x为

求得了物料y方向与x方向的当量阻力系数分别为0.732m_mω及0，诱导到合成振动方向上阻力系数为

f _m=f_mysin²δ+f_mxcos²δ=0.732×sin²30°+0=0.18m_mω

（2）第二种情况 当摩擦因数较小时，物料除抛掷运动外，还有滑动运动。当摩擦因数f=0.6时，摩擦角μ=31°，于是可求出正向滑始角φ_k=5°50′，反向滑始角φ_q=186°35′。显然，b_1y和a_1y的值与第一种情况完全相同，即b_1y=-0.29m_mω²λ_y，a_1y=0.732m_mω²λ_y。x方向的b_1x和a_1x的值通过计算可知，均接近于零，与b_1y和a_1y相比可以略去。因此，对于抛掷指数较大的振动输送机来说，如D>2或D>2.5，可以仅按y方向计算物料结合系数与物料当量阻力系数。

若改变振动机械的抛掷指数D，惯性力与摩擦力的作用区间均会发生变化，物料结合系数与当量阻力系数也将随着发生变化。表3-2列出了当实际抛掷指数D_s与理论抛掷指数D相等的情况下，及D分别为2.25、2.50、2.75、3.00时，非线性作用力的作用区间及物料结合系数K_m与当量阻力系数f_m的值。通过计算可知，按照第一种情况和第二种情况的物料结合系数与当量阻力系数，当抛掷系数D>2时，可以认为是相等的，并且在计算物料结合系数与当量阻力系数（D_s>2）时，可以仅考虑y方向的物料结合系数与当量阻力系数。另外从表3-2中还可以看出，当抛掷指数增大时，物料结合系数减少，当D_s>3时，物料结合系数变为负值。当量阻力系数也随着D_s的增大而减少，但变化不大。当D_s=2.25～3.00时，K_m=0.17～0，f_m=（0.165～0.18）m_mω。但是还必须指出，实际抛掷指数D_s往往比理论抛掷指数D要小，所以选取物料结合系数时，应以实际抛掷指数为准。

根据抛掷指数D_s的大小，通过图3-4所示的曲线，可以求出y方向物料结合系数K_my值。而x方向物料结合系数K_mx，当D=2～3.3时，其值接近于零。所以合成的物料结合系数为

由式（3-26）可见，合成的物料结合系数K_m与振动方向角δ有密切联系，δ越小则K_m越小（见图3-5）。

当实际抛掷指数D_s=1.5～3.3时，可按式（3-26）计算合成物料结合系数，或按图3-5之曲线查出。图3-6所示为理论结果与试验结果的比较，当D=1.5～3.3时，理论结果与试验结果十分接近。

对于抛掷运动状态，物料的非线性作用力除了一次谐波力外，还可分解出高次谐波作用力，因此，还会使振动机体出现高次谐波振动，其计算方法与滑行运动状态相似，此处不再重复。

根据前面分析结果，可以得出以下结论：

1）无论是物料做滑行运动还是抛掷运动，当振幅增大时，物料结合系数及结合质量将减小，固有频率将增大，所以考虑物料非线性作用力的振动方程具有“硬式”非线性的性质。

2）一般情况下，物料结合系数随振幅增大而减小，当实际抛掷指数为3～3.3时，物料结合系数为负值。

3）物料阻力系数可表示为同物料质量及振动圆频率的乘积乘正比的形式，即

式中 C_m——系数，可按物料性质选取。

4）物料非线性作用力所引起的振动机体的高次谐波振动，对振动机械零部件的强度会产生一定的影响，当出现高次谐波共振时，影响较大，因此，应设法避免出现高次谐波共振。