2.2.3　二进制计数系统

我们对基数为2的（二进制）计数系统并不陌生。尽管如此，还是有必要快速回顾一下。二进制计数系统的原理与十进制计数系统一致，差别在于二进制只用到了数字符号0和1（而不是0～9）及2（而不是10）的幂。

那么为什么要费心了解二进制呢？毕竟，几乎每一种计算机语言都允许程序员使用十进制表示形式（十进制表示形式会被自动转换为内部的二进制表示形式）。虽然可以自动转换，但大多数现代计算机系统和I/O设备之间的通信使用的是二进制，运算电路操作的也是二进制数据。许多算法采用二进制表示形式才能正确地运行。充分理解二进制表示形式才能写出好代码。

1.十进制和二进制表示形式的转换

要理解计算机的工作，需要知道十进制和二进制表示形式是如何相互转换的。

要将二进制数值转换为十进制，需要在二进制字符串中逢1加2i，这里的i是1这个数字的位置，从0开始。例如，二进制数值11001002等于：

1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20

即

128+64+8+2

即

20210

将十进制数值转换为二进制也很简单。将十进制表示形式转换为对应的二进制表示形式的算法如下：

1.如果数值为偶数，则填写一个二进制字符0。如果数字为奇数，则填写一个二进制字符1。

2.将数字除以2，舍去小数部分或余数。

3.如果商为0，则转换完成。

4.如果商不为0且为奇数，则在二进制字符串之前填1。如果商不为0且为偶数，则在二进制字符串之前填0。

5.回到步骤2并重复后面的步骤。

例如，将十进制数值202转换为二进制：

1.202为偶数，因此填0并除以2（101）：0

2.商101为奇数，因此填1并除以2（50）：10

3.商50为偶数，因此填0并除以2（25）：010

4.商25为奇数，因此填1并除以2（12）：1010

5.商12为偶数，因此填0并除以2（6）：01010

6.商6为偶数，因此填0并除以2（3）：001010

7.商3为奇数，因此填1并除以2（1）：1001010

8.商1为奇数，因此填2并除以2（0）：11001010

9.商为0，算法转换完成，得到11001010。

2.让二进制数值便于理解

20210和11001002虽然数值相等，但一眼就能看出来，十进制表示形式比二进制紧凑。我们需要通过一种方式让二进制数值中的数字（位）更简短、更容易理解。

在美国，为了让较大数值容易理解，很多人把数字分成三个一组，用逗号隔开。例如，1，023，435，208比1023435208更容易阅读和理解。本书也采用了类似的约定，将二进制字符串按四位一组用下画线分隔。例如，二进制数值10101111101100102记为1010_1111_1011_00102。

3.编程语言的二进制数值表示

上文中都是用下标符号（没有下标则代表十进制数值）表示二进制数值。但程序文本编辑器或编程语言编译器通常是无法处理下标的，因此，在标准ASCII文本文件中需要使用不同的方式来表示基数。

通常，只有汇编语言编译器（汇编器）允许程序使用二进制字面值常量。[1]由于不同的汇编器之间的差异很大，因此汇编语言程序中存在多种表示二进制字面值常量的方法。本书示例使用的是MASM和HLA，因此我们也采用它们的二进制表示约定。

MASM使用以b或B结尾的二进制数字（0和1）字符串表示。MASM源文件中9的二进制表示为1001b。

在HLA中，需要在二进制数值的前面加一个百分号（%）。HLA还允许在二进制字符串中插入下画线以提高可读性，例如：